所以我有一个练习，我应该证明或反驳：
1）如果e是连通图G中的最小权重边，使得并非所有边都必须是不同的，那么G的每个最小生成树都包含e
2）与1）相同，但现在所有边缘权重都是不同的。
确定如此直观，我明白1）因为并非所有边缘权重都是不同的，所以顶点具有边缘e的路径而另一边缘e_1可能是这样的，如果权重（e）=权重（e_1）然后有一个生成树，它不包含边缘e，因为图表已连接。否则，如果e_1和e都在最小生成树中，那么就有一个循环
和2）由于所有边权重都是不同的，当然最小生成树将包含边e，因为任何算法总是选择较小的路径。
有关如何证明这两项的任何建议吗？感应？不知道如何接近。
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实际上在你的第一个证据中，当你说e和e_1都在G中时，那么有一个循环，那是不正确的，因为它们是最小的边缘，所以没有＃＆＃ 39; t必须是一个循环，你需要将它们都包含在MST中，因为如果| E | ＆GT; 1和| V | ＆GT; 2然后他们都必须在那里。
无论如何，第一个的反例是一个完整的图形，所有边缘的权重与e相同，MST只包含| V | -1边，但你没有包含所有其他边同样的重量，因此你有一个矛盾。
对于第二个，如果所有边都是不同的，那么如果你移除最小边并想要重建MST，那么唯一的方法就是添加一个连接被破坏的2个不相交集的边。达到最小重量边缘。
现在假设您没有删除最小权重边缘，并添加了其他边缘，现在您已经创建了一个周期，并且由于所有边缘都是不同的，因此周期创建边缘将大于所有这些，因此如果从该循环中删除任何以前的MST边缘，它将只增加MST的大小。这意味着当所有边缘具有不同的权重时，几乎所有以前的MST边缘都是关键的。