给定图G，这是足够的必要条件，以便该图具有唯一的最小生成树？此外，我如何证明这些条件？
到目前为止，我发现这些条件是：
1）对于V（G）的每个分区为两个子集，每个子集中具有一个端点的最小权重边是唯一的。
2）G的任何周期中的最大权重边是唯一的。
但我不确定这是否正确。即使这是正确的，我也无法证明其正确性。
答案 0 :(得分：2)
这是错误的，因为至少第一个条件不是必需的。证据是反例（source）。
将G作为所有边权重为1的树。然后G有一个 唯一的MST（本身），但任何具有多个边缘的分区 穿过它有几个最小重量边缘。
编辑：
回应您修改过的问题......
对于MST的唯一性，有一个众所周知的充分（但不是必要的）条件：
如果连通图中每条边的权重不同，则该图只包含一个（唯一的）最小生成树。
证据如下（source）：
为了矛盾，假设有两种不同的MST G，比如T1和T2。设e = v-w为G的最小权重边缘 T1或T2中的一个，但不是两个。我们假设e在T1中。添加e到 T2创建一个循环C.在C中至少有一个边，比如说f 不在T1中（否则T1将是循环的）。通过我们选择的e，w（e）≤ W（F）。由于所有边缘权重都是不同的，因此w（e）< W（F）。现在， 在T2中用e替换f会产生一个重量更少的新生成树 而不是T2（与T2的最小性相矛盾）。
但是，关于MST的唯一性的“足够的和必要”条件，我不相信任何已知的存在。
答案 1 :(得分：1)
实际上，唯一的MST有必要的充分条件。在A First Course In Graph Theory书中，它是作为练习给出的：
锻炼4.30
让G为一个连通加权图，T为G的最小生成树。仅当且仅当不在T中的G的每个边e的权重超过权重时，证明T是G的唯一最小生成树。 T + e中周期的每个其他边的数量。
我写了证明here。