集合上必要且充分的条件

Question

我在解决这个问题时遇到了困难 -

陈述并证明集A和B的必要和充分条件，使得A×B = B×A（笛卡尔积）。虽然A = B就足够了，但没有必要。

我对必要条件的理解是A不保证B在充分条件下A确实保证B，但我不确定它如何适用于这个问题或者最后一句话是什么。我也不确定如何处理这种类型的证据。

Answer 1

您的混淆来自于您使用A和B来设置和声明。

我们将A and B用于集合，S and N用于陈述。

言

对必要性和充足性的一个很好的解释是here。这些都是等价的：

• S是N
的充分条件
• S暗示N
• 如果S则N
• N由S
暗示
• S仅在N
时
• N是S
的必要条件

＆＃34;一个必要和充分的条件＆＃34;是一个等同的条件＆＃34;。请参阅Simultaneous necessity and sufficiency。

对于原始问题，我们要求的是找到一个只有A×B=B×A的真实数学陈述。

集

至于您的原始问题，您需要查看commutativity of the cartesian product的条件。

• 如果A=B则A×B=B×A
• 如果A or B is empty则A×B=B×A
• 没有A×B=B×A
的其他情况

所以A×B=B×A当且仅当{A=B，A is empty或B is empty）。