必要性和充分性与健全性和完整性

Question

我正在努力学习证明。我遇到了这四个术语。我试图联系所有人。

A: X>Y B: Y<X

Necessary Condition 
             B implies A
Sufficient Condition 
             A implies B

和

A = { set of statements}  Q= a statement

Soundness 
        if A derives Q then A is a logical consequence of Q
Completeness
         if A is a logical consequence of Q then A derives Q.

所有人之间的关系是什么？       感谢帮助。

Answer 1

必要/充分与健全性和完整性无关，所以我将分别解释这两个概念。

必要/充足：

在您的示例中，这两个语句是等效的：X>Y当且仅当Y<X时。因此B暗示A和A暗示B的情况确实如此。一个更好的例子可能是：

A: X>Y+1
B: X>Y

此处A意味着B，即A 足以让<{1}}持有。另一种方式不成立：B并不意味着B（因为您可以拥有A和X=10，在这种情况下只有Y=9会保留）。这意味着B的{​​{1}}不是必需的。

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<强>完整性/稳健性：

当我第一次遇到它时，我需要一段时间来包裹我。但它真的很简单！

假设您有以下内容：

A

现在，声音说我们不能通过坚持B的陈述来达到疯狂。更正式的是，如果A = { X>Y, Y>Z } Q = X>Z 不成立，则无法从A派生。或者，只能从Q派生有效的内容。

创建一个不健全的语句很容易。举个例子

A

它们相互矛盾，所以我们可以通过矛盾证明来推导A（这是假的）。

完整性说双重：所有有效的东西可以从A = { x<Y, X>Y } 派生。假设X>X，A和X是世界上唯一的变量，Y是世界上唯一的关系。然后是一组语句，如

Z

已完成，因为对于任何两个给定变量>和A = { X>Y, Y>Z } ，当且仅当a实际成立时，我们才能推导出b。

如果我们只有

a>b

然后语句集不就完整了，因为会有关于a>b的真实陈述，我们什么都不能说。

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简而言之：健全性说你不能得出疯狂的结论，完整性说你可以得出所有合理的结论。