LogN的价值是什么？

Question

所以我一直在研究Big O符号（Noob），大多数东西对我来说都像外星语言。现在我理解log2的基本功能就像base2的log 16是2的幂等于16的数字。现在对于二进制搜索大O（logN）对我来说没什么意义，LogN的值是什么，这里的基础是什么？我已经搜索过网络，问题是每个人都用数学方式解释这个我无法理解我对数学不好。有人可以用基础英语而不是外来语来解释这个，比如说指数。我知道二进制搜索是如何工作的。

第二个问题：[我甚至不知道f =Ω（g）这个符号是什么意思]有人可以用简单的英语向我解释这里需要什么，我不想要答案，这只是意味着什么。 题 ： 在以下每种情况下，指示f = O（g），或f =Ω（g），或两者。 （在这种情况下f =Θ（g））。

f(n)              g(n)

（a）n-100 ............... n-200

（b）100n + logn ....... n +（log n）2

（c）log2n ............... log3n

Answer 1

更新：我刚才意识到我是从麻省理工学院的视频中学习算法的。这是link to the first of those videos。继续下一个讲座。

显然，如果不修复 n 是什么以及我们使用的日志基数，Log（n）没有价值。提及log（n）的目的通常是帮助人们理解特定算法或代码片段的增长率。这只是为了帮助人们从视角看待事物。要构建您的观点，请参阅下面的比较：

1 < logn < n < nlogn < n2 < 2^n < n! < n^n

上面一行说明在数字行上有n的某个值之后，上述写入函数的增长率按照那里提到的顺序。这样，决策者可以决定他们想要解决问题的方法（学生可以通过他们的算法设计和分析考试）。

提出你的问题，当书上说“二进制搜索的运行时间是Log（n）”时，基本上它们意味着如果你有n个元素，二进制搜索的运行时间将与Log（n）成比例）如果你有17n个元素，那么你可以期望算法的答案是与Log（17n）成比例的持续时间。在这种情况下，Log函数的基数是2，因为在二进制搜索中，我们在每个节点都有准确的<= 2路径。

因为，通过乘以常数，可以很容易地将日志函数的基数从任意数字转换为任何其他数字，告诉基数变得无关紧要，如在大O符号中，常量被忽略。

回答你的第二个问题，图像会解释它最好。

Big O只是关于函数的上限。在下图中，f（n）= O（g（n））。换句话说，有正常数c和k，所有n≥k时0≤f（n）≤cg（n）。

• k的重要性在于'k'之后，无论n的值是多少，这个Big O都将保持为真。如果我们不能确定'k'，我们就不能说增长率总是低于O（...）中提到的函数。
• c的重要性在于说O（...）之间的功能非常重要。

Omega只是Big O的反演。如果f（n）= O（g（n）），则g（n）=Ω（f（n））。换句话说，Ω（）是关于你的函数高于Ω（...）中提到的另一个'k'和另一个'c'的给定值。

图片可视化是

最后，Big theta是关于找到一个与你的给定函数以相同速率增长的数学函数。但是，如何证明此函数与函数运行相同。通过使用两个常数值。

由于它与你给定的函数运行相同，你应该能够将两个常量'c1'和'c2'相乘，它们能够将c1 * g（n）置于你的函数f（n）之上并放入c2 * g（n）低于你的函数f（n）。

Big theta背后的事情是提供具有相同增长率的功能。注意，可能没有常数'c'能够使f（n）和g（n）重叠。没有人关心这一点。唯一的问题是能够使用两个常数将f（n）夹在g（n）之间，这样我们就可以自信地说我们找到了f（n）的增长率。

如何将上述学到的想法应用到您的问题中？

让我们一个接一个地拿走它们。您可以使用一些在线工具来绘制这些函数，并亲眼看看当您沿着数字线时这些函数的行为。

• f（n）= n-100且g（n）= n-200

这里，可以通过区分两个函数来找出增长率。 d（f（n））/ dn = d（g（n））/ dn = 1.因此，即使f（n）和g（n）的运行时间可能不同，它们的增长率也是如此是一样的。你能选择'c1'和'c2'，使得c1 * g（n）＆lt; f（n）＆lt; c2 * g（n）？

• f（n）= 100n + log（n）和g（n）= n + 2（log（n））

区分并告诉您是否可以将功能关联为Big O或Big Theta或Big Omega。

• f（n）= log（2n）且g（n）= log（3n）

与上述相同。

（图片来自本网站的不同页面：http://xlinux.nist.gov/dads/HTML/ ）

我的经验：尝试比较很多不同功能的增长率。最终，你将为所有人获得它的支持，它将变得非常直观。考虑到集中精力一两周，这个概念对任何人都不能保持深奥。

Answer 2

首先，让我们来看看这些符号。我从问题中假设 O（f）是上限， Ω（f）是下界，并且 Θ（f）都是

对于这种情况下的O（log（N）），通常不给出基数，因为无论基数如何都知道log（N）的一般形式。如，

log(x) http://www.rapidtables.com/math/algebra/logarithm/log-graph.png

因此，如果你已经完成了二进制搜索算法（我建议你这样做，如果你没有），你会发现最坏的情况（上限）是log_2（N）。所以给定N项，在最坏的情况下需要“log_2（N）计算”才能找到该项。

关于第二个问题，

您只是比较f和g的计算运行时间。

f = O(g)

当f是g的上限时，即，f肯定需要比g更长的计算时间。或者，

f = Ω(g)

是当f是g的下界时，即，g肯定需要比f更长的计算时间。最后，

f = Θ(g)

是当f是g的上限和下限时，即运行时间是相同的。

您需要比较每个问题的两个函数，并确定哪个需要更长的时间来计算。正如Mitch所说，你可以查看here已经回答了这个问题。

编辑：意外链接e ^ x而不是log（x）

Answer 3

永远不会指定日志基础的原因是因为它实际上完全不相关。您可以通过三个步骤说服自己：

首先，回想一下log_2（x）= log_10（x）/ log_10（2）。但是还记得log_10（2）是一个常量，我们称之为k2，所以实际上，log_2（x）* k2 = log_10（x）

其次，回想一下这对于基数2的日志来说并不是唯一的。转换的常数会有所不同，但所有的日志函数都是通过乘法常量相互关联的。

（如果您了解日志功能背后的数学，或者您可以在电子表格上快速处理它，您可以自己证明这一点 - 有一列log_2（x）和一列log_3（x）和分开他们。）

最后，请记住，在Big Oh表示法中，常量基本上是不相关的。试图区分O（log_2（N））和O（log_3（N））就像试图区分O（N）和O（2N）。这是一个无关紧要的区别，因为log_2和log_3通过常量相关联。

老实说，日志的基础并不重要。