证明logn为O（2 ^ sqrt（logn））

Question

我从log n＆lt; = c.2 ^ sqrt（log n）开始，但无法达到所需的解决方案。

Answer 1

n -> inf的{​​{1}}限制必须为log n / 2^sqrt(log n)，才能使其成为现实。

申请L'Hospital获得：

!= inf

当你接近 1 - n ----------------------------------------- = 2^sqrt(log n) * log 2 * 0.5 * (1 / sqrt(log n)) * (1 / n) 1 = -------------------------------- = 2^(sqrt(log n)) * log 2 * 0.5 * (1 / sqrt(log n)) = let u = sqrt(log n) = = u / [2^u * log 2 * 0.5] 的无穷大时，限制为u / 2^u，证明了我们所追求的目标。

Wolfram confirms it

Answer 2

lg（x）＆lt; sqrt（x）表示大x。因此，lg（log n）＆lt; sqrt（log n）表示大n（用log n代替x）。

将2增加到两侧的幂得到结果：log n＆lt; 2 ^ sqrt（log n）表示大n。

Answer 3

使用变量替换，这很简单。

1. 允许m=lg(n)，我们需要展示m=O(2^sqrt(m))。

2. 再次让N=sqrt(m)，现在归结为显示N^2=O(2^N)。

3. 显示最后一个很容易，因为polynomials在增长率方面受exponential函数的限制。

我们上面使用的所有功能都严格单调增加。