Question

我正在研究书The Lambda calculus的练习题。我被困的一个问题是证明以下内容：表明应用程序不是关联的;实际上，x（yz）不等于（xy）z

以下是我迄今为止所做的工作：

Let x = λa.λb. ab
Let y = λb.λc. bc
Let z = λa.λc. ac

(xy)z => ((λa.λb. ab) (λb.λc. bc)) (λa.λc. ac)    
=> (λb. (λb.λc. bc) b) (λa.λc. ac)    
=> (λb.λc. bc) (λa.λc. ac)    
=> (λc. (λa.λc. ac) c)

x(yz) => (λa.λb. ab) ((λb.λc. bc) (λa.λc. ac))    
=> (λb. ((λb.λc. bc) (λa.λc. ac)) b)    
=> (λb. (λc. (λa.λc. ac) c) b)

这是对的吗？请帮我理解。

Answer 1

我也认为你的反例是正确的您可能会得到一个更简单的反例：

让 x =λa.n和 y ， z 变量：

（xy）z =＆gt; （（λa.n）y）z =＆gt; n z
  x（yz）=＆gt; （λa.n）（y z）=＆gt; Ñ

Answer 2

这些推导看起来很好，一目了然。

从概念上讲，只要认为x，y和z可以表示任何可计算的函数，显然，其中一些函数不是关联的。比方说，x是'减去2'，y是'除以2'，z是'双精度'。对于此示例，x（yz）='减去2'和（xy）z ='减去1'。

Answer 3

似乎没问题，但为简单起见，如何通过矛盾来证明？

假设（xy）z = x（yz），并且让

x = λa.λb. a     # x = const
y = λa. -a       # y = negate
z = 1            # z = 1

并表明（（xy）z）0≠（x（yz））0。

Answer 4

Barendregt提到的这本书是非常正式和精确的（一本好书），所以准确地说出这个练习是很好的。

我想实际的目标是找到x，y和z的实例化 x（y z）减少到布尔值true = \ xy.x和（x y）z减少到布尔值false = \ xy.y

然后，您可以采取例如x = \ z.true和z = I = \ z.z（y任意）。

但是我们怎样才能证明真假不可以假？你没有办法在微积分中证明它，因为你没有否定：你只能证明平等而不是不平等。但是，让我们观察一下，如果true = false，那么所有术语都是相等的。

实际上，对于任何M和N，如果true = false则

                         true M N = false M N

但是真正的M N减少到M，而假M N减少到N，所以

                              M = N

因此，如果true = false，则所有术语都相等，并且微积分将是微不足道的。既然我们找不到lambda演算的琐碎模型，那就没有了模型可以等同于真与假（更一般地说，可能将术语与不同的正规形式等同起来，这需要我们谈论bohm-out技术）。

Lambda演算中的相关性

4 个答案: