在lambda演算中的Eta抽象

Question

lambda演算中的Eta抽象意味着以下。

A function `f` can be written as `\x -> f x` 

在减少lambda表达式的同时，Eta是否有任何用途的抽象？它只是编写某些表达式的另一种方式吗？

Answer 1

首先，为了澄清术语，转述 Haskell wiki 中 Eta conversion 文章中的引用（也包含上面 Will Ness 的评论）：

<块引用>

从 \x -> f x 转换为 f 会 构成一个eta 减少，并以相反的方式移动 将是 eta abstraction 或 expansion。术语eta 转化可以指任一方向的过程。

• 广泛使用 η-reduction 会导致 Pointfree programming。
• 它通常也用于某些编译时优化。

发现的用例摘要：

1. 无点（风格）编程
2. 允许在使用严格/急切评估策略的语言中进行惰性评估
3. 编译时优化
4. 扩展性

1.无点（风格）编程

来自 Tacit programming 维基百科文章：

<块引用>

默认编程，也叫point-free style，是一种编程 函数定义不识别参数的范式 （或“点”）他们操作。相反，定义仅仅是 编写其他函数

从 sth's answer 中借用 Haskell 示例（也显示了我在此处选择忽略的组合）：

inc x = x + 1

可以改写为

inc = (+) 1

这是因为（在 yatima2975's reasoning 之后）inc x = x + 1 只是 \x -> (+) 1 x 的语法糖，所以

\x -> f       x   => f
\x -> ((+) 1) x   => (+) 1

关于它的用法有一个 good thread on Stackoverflow。 （另见this repl.it snippet。）

2.允许在使用严格/急切评估策略的语言中进行惰性评估

使得在急切/严格语言中使用惰性求值成为可能。

从 Eta Expansion 上的 MLton 文档释义：

<块引用>

Eta 扩展延迟 f 的计算，直到应用了周围的函数/lambda，并且每次应用该函数/lambda 时都会重新计算 f。

有趣的 Stackoverflow 线程：Can every functional language be lazy?

2.1 重击

我可能是错的，但我认为 thunking 或 thunks 的概念属于这里。来自the wikipedia article on thunks：

<块引用>

在计算机编程中，thunk 是一个子程序，用于注入一个 附加计算到另一个子程序中。 Thunks 主要是 用于延迟计算直到需要其结果，或插入 其他子程序开始或结束的操作。

4.2 Variations on a Scheme — Lazy Evaluation (Structure and Interpretation of Computer Programs) 的 pdf 对 thunk 有非常详细的介绍（尽管没有出现过一次“lambda 演算”，但它是一个值得一读）。

（这篇论文看起来也很有趣，但还没有时间研究它：Thunks and the λ-Calculus。）

3.编译时优化

对这个话题完全无知，因此只提供来源：

• 来自Georg P. Loczewski's The Lambda Calculus：“在 Lambda Calculus、A++、SML、Haskell、Miranda 等‘懒惰’语言中。eta 转换-转换、抽象和归约等，主要在编译器中使用.（参见 [Jon87] 第 22 页。）"

• [Jon87] 扩展为

  <块引用>

  西蒙·L·佩顿·琼斯
  The Implementation of Functional Programming Languages
  Prentice Hall International，赫特福德郡，HP2 7EZ，1987。
  ISBN 0 13 453325 9.

• search results for "eta" reduction abstraction expansion conversion "compiler" optimization

4. Extensionality

^{这是另一个我知之甚少的话题，它更具理论性，所以在这里：}

来自 Lambda calculus 维基百科文章：

<块引用>

η-reduction 表达了 extensionality 的思想，在这个 上下文是两个函数相同当且仅当它们给出 所有参数的结果相同。

其他一些来源：

• Eta-conversion 上的 nLab 条目，深入探讨了它与外延的联系，以及它与 beta-conversion 的关系

• 理论计算机科学堆栈交换中的 What's the point of η-conversion in lambda calculus? 中的大量信息（但请注意：已接受答案的作者似乎对 eta 约简与可扩展性之间的关系的普遍看法持反对意见，所以一定要阅读整页。大部分都在我的脑海里，所以我没有意见。）

• question above has been cross-posted to Math Exchange as well

• 说到“在我头上”的东西：这里是Conor McBride's take；我唯一明白的是 eta 转换在某些情况下可能会引起争议，但阅读他的回复是试图找出外星语言 (couldn't resist)

Answer 2

eta减少/扩张只是法律规定的结果

f = g

必须是，对于任何x

f x = g x

反之亦然。

因此给出：

f x = (\y -> f y) x

我们通过beta减少右侧来获得

f x = f x

必须是真的。因此，我们可以得出结论

f   = \y -> f y