Question

我在大学时遇到过以下问题：

让 G =（V，E）成为（无向）图形，其边缘成本 c _e ＆gt; = 0 em> e ∈ E 。假设您在 G 中获得了最低成本生成树 T 。现在假设将一条新边添加到 G ，连接两个节点 v ， t _v ∈ V ，费用为 c 。

提供一种有效的算法来测试 T 是否仍然是最小成本生成树，并将新边添加到 G （但不是 G / em>的）。使算法在时间O（| E |）中运行。你能在O（| V |）时间内完成吗？请注意您对用于表示树 T 和图表 G 的数据结构所做的任何假设。
假设 T 不再是最低成本生成树。给出线性时间算法（时间O（| E |））将树T更新为新的最小成本生成树。

这是我找到的解决方案：

Let e1=(a,b) the new edge added
Find in T the shortest path from a to b (BFS)
if e1 is the most expensive edge in the cycle then T remains the MST
else T is not the MST

它似乎工作但我可以轻松地在O（| V |）时间运行，而问题要求O（| E |）时间。我错过了什么吗？

顺便说一下，我们有权向任何人寻求帮助，所以我不会作弊：D

Answer 1

你有正确的想法，但如果以正确的方式存储树，你可以做比BFS更好的最短路径搜索。

假设 T 中的一个节点 r 是根（如果已在矩阵中标记了树边，则可以从那里选择任何节点和BFS来生成此结构或者邻接列表图结构），并且每个其他节点具有父指针和深度计数。要在 T 中找到 a 和 b 之间的最短路径：

让 a 成为“更深”的节点;如果需要，交换。
遍历来自 a 的父链接，直到达到 b 或 r ，存储遍历的路径，标记已访问的节点。
如果您到达 b ，则会移动最短路径。
如果您到达 r ，那么也会从 b 遍历到根目录;如果您到达从 a 到 r 的遍历中到达的节点，请停止。加入他们遇到的两个地方，你就可以在 T 中找到最短的路径。

该算法的有效性证明留给读者练习。这是像BFS一样的O（| V |），但通常也会更快。实际上，只有少数MST配置实际需要O（| V |）时间。当然，生成父链接树需要O（| V |）时间开始，所以这只在某些情况下有用，例如，如果您使用MST构建算法，在确定的过程中自然地创建此结构MST。

正如另一位评论者所说，请注意，如果图表中有MST，则表示已连接，因此| V | ＆lt; = | E |因此O（| V |）＆lt; O（| E |）。

此外，要在O（| V |）时间内修复树，如果需要，只需找到循环中最长的边并将其移除，将其替换为新边。使用父链接MST有效地执行此操作也是读者的一项练习。

Answer 2

我认为BFS就足够了。它的复杂性是O（| V | + | E |），但在树| E |中小于| V |所以O（2 | V |）就是O（| V |）

Answer 3

我相信您的步骤Find in T the shortest path from a to b是订单E操作。

插入新边时更新最小生成树

3 个答案: