这是一个消费税
假设给出了给定图G的最小生成树T. （具有n个顶点和m个边）和权重w的新边e =（u，v） 我们将添加到G.给出一个有效的算法来找到最小值 图G + e的生成树。 您的算法应该在O（n）中运行 是时候获得全额学分。
我有这个想法：
In the MST, just find out the path between u and v. Then find the edge (along the path) with maximum weight; if the maximum weight is bigger than w, then remove that edge from the MST and add the new edge to the MST.
棘手的部分是如何在O（n）时间内完成此操作，而且我也被卡住了。
问题是如何存储MST。在普通的Prim算法中，MST存储为父数组，即每个元素都是相应顶点的父元素。
所以假设消费税给了我一个表明MST的父数组，我怎样才能在O（n）中释放上述算法？
首先，如何从父数组中识别u和v之间的路径？我可以为你和你有两个祖先数组，然后检查共同的祖先，然后我可以得到路径，虽然在后面。我认为对于这一部分，找到共同的祖先，至少我必须在O（n ^ 2）中做，对吧？
然后，我们有了路径。但是我们仍然需要找到路径上每条边的重量。由于我认为图形将使用邻接列表用于Prim算法，我们必须做O（m）（m是边数）来定位边缘的每个权重。
...
所以我认为不可能在O（n）中进行算法。我错了吗？
答案 0 :(得分：1)
你的想法是正确的。请注意，查找u和v之间的路径为O(n)。我假设你有一个parent array来识别MST。跟踪从u到v或u到root vertex的路径（最大边缘）应该只需O(n)。如果您到达root vertex，只需跟踪从v到u或root vertex的路径。
现在您拥有u -> u1 ... -> max_path_vert1 -> max_path_vert2 -> ... -> v的路径，删除边max_path_vert1->max_path_vert2（假设这大于添加的边缘）并反转u->...->max_path_vert1的父级并标记{{1} }。
编辑：更清晰的解释
请注意，在MST中，任何一对顶点之间只有一条路径。因此，如果您可以追踪parent[u] = v和u->y，那么您只能追踪最近的v->y个顶点。如果跟踪的n个顶点超过n，则意味着您访问了两次顶点，这在MST中不会发生。好的，现在希望您确信从u->y和v->y跟踪是O（n）。获得这些路径后，您已经建立了u->v的路径。你看到了吗？我假设这是一个无向图，因为找到有向图的MST本身就是一个不同的概念。对于无向图，当您有x->y的路径时，您有y-x的路径。所以，u->y->v存在。您甚至无需追溯y->v，因为v->y的权重与y->v的权重相同。从u->y和v->y跟踪时，只需找到具有最大权重的边缘。
现在在O（1）中找到边权重;你如何存储当前的重量？邻接列表或邻接矩阵？对于O（1）访问，以父顶点数组的存储方式存储它。所以，weight[v] = weight(v, parent[v])。所以，你将有O（1）访问权限。希望这会有所帮助。
答案 1 :(得分：0)
嗯 - 你的解决方案是正确的。
但是关于实现，我不明白为什么你使用G而不是T来找到u和v之间的路径。在T中使用任何搜索遍历u和v之间的路径，将给你O（n）。 - 也就是说，您可以假设v是根并且执行深度优先搜索算法[在这种情况下，您将必须假设v的所有邻居作为子项] - 并且一旦找到您就停止DFS - 然后，堆栈中的节点对应于u和v之间的路径。
之后很容易找到路径中每条边的成本（O（n）），并且删除/添加边也很容易。总共O（n）。
这会有所帮助吗？
或许你得到O（n ^ 2） - 根据我的理解 - 因为你在O（n）中的T中访问顶点v的子节点 - 在这里，你必须将你的数据结构呈现为映射数组使成本降低到O（1）。 [对于instace，{a，b，c，u，w}（顶点） - ＆gt; {0,1,2,3,4}（顶点索引）。