在向图表添加新边缘后查找新的最小生成树

Question

设G =（V，E）是加权，连通和无向图，让T为最小生成树。设e是不在E中的任何边（并且具有权重W（e））。 证明或反驳： T U {e}是一个边集，其中包含G'=（V，E U {e}）的最小生成树。

嗯，这对我来说听起来是对的，所以我决定证明这一点但我每次都被卡住了......

例如，如果e是具有最小权重的新边缘，那么谁可以向我们保证T中的边缘没有以不良的方式被选择，这将阻止我们在没有其他人的“帮助”的情况下获得新的最小权重E - T的边缘？

我将不胜感激， 提前谢谢。

Answer 1

让 [a（1），a（2），...，a（n-1）] 成为从 E 中选择构造的边缘序列Kruskal算法的 G 的MST（按照它们被选择的顺序 - weight（a（i））＆lt; = weight（a（i + 1）））。< / p>

现在让我们考虑一下Kruskal的算法如何表现为输入 E'= E U {e} 。 设 i = min {i：weight（e）＆lt;重量（A（I））} 。首先算法决定选择边 [a（1），...，a（i - 1）] （ e 尚未处理，所以它表现为相同）。然后需要决定 e - 如果 e 被删除， E'的解决方案将与 E 。所以让我们假设算法选择的第一个 i 边缘是 [a（1），...，a（i - 1），e] - 我会称之为新的序列 a'。算法继续 - 只要其以下选择（对于j> i）满足 a'（j）= a（j - 1），我们就很酷。有两种情况可以打破这种伟大的连胜（让我们说在指数 k + 1 时条纹断裂）：

1）算法选择一些不在 T 中的边e'，并且 weight（e'）＆lt;重量（第（k + 1））。现在 a'序列是：

[a（1），...，a（i-1），e，a（i），a（i + 1），...，a（k-1），a（ k），e']

但如果可以将 e'附加到此列表中，也可以将其附加到 [a（1），...，a（k-1） ，a（k）] 。但是，当为 G 寻找MST时，Kruskal的算法没有这样做。这导致了矛盾。

2）礼貌选择的算法：

[a（1），...，a（i-1），e，a（i），a（i + 1），...，a（k-1），a（ K）]

但决定放弃边缘 a（k + 1）。但如果列表算法中没有 e ，则决定附加 a（k + 1）。这意味着在图形（V，{a（1），...，a（k）}）边缘 a（k + 1）将连接相同的组件作为边缘 e 。这意味着，在 G 和 G'的情况下，通过算法边缘 a（k + 1）进行考虑后，划分为连通分量（由一组选定边确定）是相同的。因此，在处理 a（k + 1）算法后，在两种情况下都将以相同的方式进行。

Answer 2

如果在没有添加节点的情况下将边添加到图中，则该边在图的最小生成树中创建循环，循环长度可以在2到n之间变化，其中n =图中的节点no。 T = G的最小生成树 现在要找到（T +添加边缘）的MST，我们必须从该循环中移​​除一条边..所以移除具有最大权重的边缘。

所以T'总是来自T U {e}。

如果你认为这并不能证明新的MST将是T U {e}的边缘集，那么分析Kruskal算法以获得新图。即，如果e是最小重量，则必须根据Kruskal算法选择MST，如果最小则不能从循环中移除。