为什么BFS / DFS的时间复杂度不仅仅是O（E）而不是O（E + V）？

Question

我知道堆栈溢出中有一个类似的问题，一个人问过，为什么BFS / DFS的时间复杂度不仅仅是O（V）。

给出的适当答案是，在完整图的情况下，E可以与V ^ 2一样大，因此在时间复杂度中包含E是有效的。

但是，如果V不能大于E + 1。那么，在这种情况下，时间复杂度中没有V，应该有效吗？

Answer 1

如果给出了E = kV + c，对于某些实常数k和c，则为  O(E + V) = O(kV + c + V) = O(V) = O(E)你的论点是正确的。

这样的例子就是树。

但一般来说，E = O(V^2)，因此我们无法做到比O(V^2)更好。

为什么不总是只写O（E）？
请注意，可能存在图中根本没有边缘的情况（即O(E) ~ O(1)）。即使对于这种情况，我们也必须转到每个顶点（O(V)），我们无法在O(1)时间内完成。

因此，只写O(E)一般不会做。

Answer 2

V必须包含在内，因为BFS和DFS都依赖于大小为| V |的数组。跟踪已处理/发现/探索了哪些顶点（无论情况如何）。如果图形具有0个边和100000个顶点，则与只有5个顶点的情况相比，此类数组的初始化时间仍将更多。因此，BFS和DFS的时间复杂度在| V |上缩放。