为什么DFS和BFS O（V + E）的时间复杂度

Question

BFS的基本算法：

set start vertex to visited

load it into queue

while queue not empty

   for each edge incident to vertex

        if its not visited

            load into queue

            mark vertex

所以我认为时间的复杂性将是：

v1 + (incident edges) + v2 + (incident edges) + .... + vn + (incident edges) 

其中v是顶点1到n

首先，我说的是正确的吗？其次，这个O(N + E)怎么样，直觉为什么会非常好。感谢

Answer 1

你的总和

v1 + (incident edges) + v2 + (incident edges) + .... + vn + (incident edges)

可以改写为

(v1 + v2 + ... + vn) + [(incident_edges v1) + (incident_edges v2) + ... + (incident_edges vn)]

，第一组为O(N)，而另一组为O(E)。

Answer 2

DFS（分析）：

• 设置/获取顶点/边缘标签需要O(1)时间
• 每个顶点都标记两次
  • 曾作为UNEXPLORED
  • 曾作为VISITED
• 每条边都标记两次
  • 曾作为UNEXPLORED
  • 一次作为DISCOVERY或BACK
• 方法eventsEdges为每个顶点调用一次
• 如果图表由邻接列表结构
表示，则DFS在O(n + m)时间内运行
• 回想一下Σv deg(v) = 2m

BFS（分析）：

• 设置/获取顶点/边缘标签需要O（1）时间
• 每个顶点都标记两次
  • 曾作为UNEXPLORED
  • 曾作为VISITED
• 每条边都标记两次
  • 曾作为UNEXPLORED
  • 一次发现或交叉
• 每个顶点都插入一个序列Li
• 方法eventsEdges为每个顶点调用一次
• 如果图表由邻接列表结构
表示，则BFS在O(n + m)时间内运行
• 回想一下Σv deg(v) = 2m

Answer 3

非常简化而没有太多形式：每个边都被认为是两次，每个节点只处理一次，因此复杂度必须是边数和顶点数的常数倍。

Answer 4

我认为每个边缘都被考虑过两次，每个节点都被访问过一次，因此总时间复杂度应为O（2E + V）。

Answer 5

简短而简单的解释：

  

我最糟糕的情况是你需要访问所有的顶点和边缘   最坏情况下的时间复杂度为O（V + E）

Answer 6

对此的直观解释是简单地分析单个循环：

1. 访问顶点 - ＆gt; O（1）
2. 所有事件边缘的for循环 - ＆gt; O（e）其中e是入射在给定顶点v上的多个边缘。

因此单个循环的总时间为O（1）+ O（e）。现在，每个顶点访问一次，为每个顶点求和。这给了

  

Sigma_i

p {
    height: 50px;
    line-height: 50px;
}

span {
    position: relative;
    font-size: 2.5em;
    display: inline-block;
    line-height: .7em;
    vertical-align: middle;
}

span:before {
    font-size: 12px;
    display: block;
    position absolute;
    left: 0;
    top: 0;
    content: "V";
    width: 22px;
    text-align: center;
}

span:after {
    font-size: 12px;
    display: block;
    position absolute;
    left: 0;
    bottom: 0;
    content: "k = 1";
    width: 27px;
    text-align: center;
}

<p>
    <span>&Sigma;</span>
    O(1) + O(e)
=> 
    <span>&Sigma;</span>
    O(1)
    +
   <span>&Sigma;</span>
    O(e)

=> O(V) + O(E)

</p>

[O（1）+ O（e）]

Answer 7

是O（V + E），因为每次访问V的v必须访问E的每个e，其中| e | <= V-1。由于有V个访问V的v，所以就是O（V）。现在您必须添加V * | e | = E => O（E）。因此，总时间复杂度为O（V + E）。