用Big-Oh表示法分析代码片段的运行时间

Question

sum = 0; 'O(1)
for(i=1;i<2*n;i++) 'O(2n-1)
    for(j=1;j<i*i;j++) 'O((2n-1)^2 - 1)
        for(k=1;k<j;k++) 'O((2n-1)^2 - 1 - 1)
            if (j % i == 1) 'O(1)
                sum++;

当我添加并简化所有内容时，我得到O（n ^ 2）。解决方案说O（n ^ 4）。我做错了什么？

Answer 1

对于嵌套循环，您应该应用乘法规则而不是添加规则;对于单独的任务，您应该应用添加规则。

你可以用这种方式思考问题：你被赋予了N个任务，而且每个任务都有O(M)的复杂性，总的复杂性是多少？我们有两种解释方法，一种使用加法规则，另一种使用乘法规则。

让我们先看看加法规则。为了得到答案，我们需要将所有这些N任务的复杂性加起来，因为它们都是独立的，N * O(M)，相当于O(N) * O(M) = O(NM)。

另一种解释是：遍历所有需要O(N)的任务，每项任务都需要O(M)，因此O(N) * O(M) = O(NM)。

请记住，大O符号表示复杂性的上限，因为O(N^5)比O(N^4)更宽松，所以它在概念上是正确的，但是不受理。为什么我们会遇到这种情况？这是因为第三个循环已经松动了太多。第三个循环的实际复杂度为O(j)，j的上限为(2n-1)^2 - 2。但是，如果您只是将O((2n-1)^2 - 2)作为第三个循环的复杂度并将其与之前相乘，则将其解释为 K的每个循环都具有（2n-1）^ 2的复杂度。 ，这不是真的。

Answer 2

作为其他答案的补充，更加分析/肮脏（和硬）的方法是计算：

您可以在Mathematica（或在WolframAlpha在线）中将其计算为：

Sum[Sum[Sum[1, {k, 1, j - 1}], {j, 1, i^2-1}], {i, 1, 2*n-1}]

结果是5次多项式。

此时，检查结果也很有用。

可以使用有限微积分手工完成（对于这个主题你可以看到Knuth's book）。