Question

def filter(f, lst):     
    if lst == []: return []
    if f(lst[0]): return [lst[0]] + filter(f, lst[1:])
    return filter(f, lst[1:]) 

def my_reverse(lst):        # Reverse the list
    def reverse_helper(x,y):
        if x == []: return y
        return reverse_helper(x[1:], [x[0]] + y)
    return reverse_helper(lst, []) 

def revfilter_alpha(f, lst):    # Reverse and filter ...
    return my_reverse(filter(f, lst))

def revfilter_beta(f, lst): # Reverse and filter ...
    if lst == []: return []
    return revfilter_beta(f, lst[1:]) + ([lst[0]]  if f(lst[0])  else [])

有人可以向我解释如何确定BigΘ符号的运行时间吗？我已经阅读了很多东西，但仍然不知道从哪里开始。

在filter中，我认为它是Θ（n ^ 2），因为它使用带有n个递归调用的谓词函数f检查大小为n的列表中的每个元素，因此n * n。

revfilter_beta看起来非常相似，只是在过滤时反转，所以这也不是Θ（n ^ 2）？

然后

revfilter_alpha会过滤一个反向，所以这不是n ^ 2 * n ^ 2 =Θ（n ^ 4）？

有没有人有任何想法？

Answer 1

filter有n递归调用，但你也会在每次迭代时执行一次复制操作n，所以最终得到Θ（n ^ 2）。如果你“正确”实现它，它应该是Θ（n）。

my_reverse相同。

revfilter_beta相同。

revfilter_alpha只做一个filter然后一个reverse，所以Θ（n ^ 2 + n ^ 2）=Θ（n ^ 2）。

编辑：让我们再看看filter。

您想知道的是相对于输入大小执行了多少次操作。 O(n)表示在最糟糕的情况下，您将执行n次操作的顺序。我说“按顺序”，因为您可以执行O(n/2)次操作或O(4n)，但最重要的因素是n。也就是说，随着n的增长，常数因子变得越来越不重要，所以我们只看非常数因子（在这种情况下为n）。

那么，filter对n大小的列表执行了多少次操作？

让我们从下往上看。如果n为0 - 空列表怎么办？然后它将返回一个空列表。所以我们说这是1次操作。

如果n为1，该怎么办？它将检查是否应该包括lst[0] - 该检查需要花费很长时间来调用f - 然后它将复制列表的其余部分，并对该副本执行递归调用，这种情况是一个空列表。因此filter(1)需要f + copy(0) + filter(0)次操作，其中copy(n)是复制列表所需的时间，f是检查是否应包含元素所需的时间，假设每个元素花费的时间相同。

filter(2)怎么样？它将执行1次检查，然后复制剩余的列表并在余数上调用filter：f + copy(1) + filter(1)。

您已经可以看到该模式。 filter(n)需要1 + copy(n-1) + filter(n-1)。

现在，copy(n)只是n - 以n操作以这种方式对列表进行切片。所以我们可以进一步简化：filter(n) = f + n-1 + filter(n-1)。

现在，您可以尝试只展开filter(n-1)几次，看看会发生什么：

filter(n) = f + n-1 + filter(n-1)
          = 1 + n-1 + (f + n-2 + filter(n-2))
          = f + n-1 + f + n-2 + filter(n-2)
          = 2f + 2n-3 + filter(n-2)
          = 2f + 2n-3 + (f + n-3 + filter(n-3))
          = 3f + 3n-6 + filter(n-3)
          = 3f + 3n-6 + (f + n-4 + filter(n-4))
          = 4f + 4n-10 + filter(n-4)
          = 5f + 5n-15 + filter(n-5)
          ...

我们可以推广x次重复吗？ 1, 3, 6, 10, 15 ...序列是三角形数字 - 即1，1+2，1+2+3，1+2+3+4等。所有数字的总和来自1至x为x*(x-1)/2。

          = x*f + x*n - x*(x-1)/2 + filter(n-x)

现在，x是什么？我们会重复多少次？好吧，您可以看到，当x = n时，您不再有递归 - filter(n-n) = filter(0) = 1。所以我们的公式现在是：

filter(n) = n*f + n*n - n*(n-1)/2 + 1

我们可以进一步简化：

filter(n) = n*f + n^2 - (n^2 - n)/2 + 1
          = n*f + n^2 - n^2/2 + n/2 + 1
          = n^2 - n^2/2 + f*n + n/2 + 1
          = (1/2)n^2 + (f + 1/2)n + 1

所以你有它 - 一个相当详细的分析。那将是Θ((1/2)n^2 + (f + 1/2)n + 1) ...假设f无关紧要（比如说f = 1）到达Θ((1/2)n^2 + (3/2)n + 1)。

现在你会注意到，如果copy(n)花了一段时间而不是线性时间（如果copy(n)是1而不是n），那么你就不会在那里获得n^2个术语。

我承认，当我最初说Θ(n^2)时，我并没有完全理解这一点。相反，我想：好的，你有n个递归步骤，由于n，每个步骤都需要copy个时间。 n*n = n^2，Θ(n^2)。n。为了更准确地做到这一点，n + (n-1) + (n-2) + (n-3) + ... + 1会在每一步缩小，因此您确实拥有n*n - (1 + 2 + 3 + ... + n)，最终会得到与上面相同的数字：n*n - n*(n-1)/2 = (1/2)n^2 + (1/2)n = 0，如果我使用f代替n，则相同。同样，如果您有1个步骤，但每个步骤都采用n而不是1 + 1 + 1 + ... + 1（如果您不必复制列表），那么您将n ，n次，或只是{{1}}。

但是，这需要更多的直觉，所以我想我也会向你展示你可以应用于任何东西的蛮力方法。

Answer 2

您的所有功能都是O(N^2)，因为每个递归步骤需要O(N)次，并且长度N列表中会有N个步骤。

您在函数中执行了两项昂贵的操作（即O(N)）操作。第一个是切片（例如lst[1:]）。第二个是列表连接（使用+运算符）。

这两者可能比你期望的更昂贵，主要是因为Python的列表与其他语言中的列表数据类型不同。在引擎盖下，它们是阵列，而不是链接列表。可以在O（1）时间内对链接列表执行上述操作（尽管O(1)切片是破坏性的）。例如，在Lisp中，您使用的算法是O(N)，而不是O(N^2)。

递归在Python中通常也是次优的，因为没有tail call elimination。 Python在最近版本中的默认递归限制是1000，因此除非你在sys模块中乱七八糟地增加限制，否则列表将打破纯粹的递归解决方案。

也可以在Python中执行这些算法的O(N)版本，但是您希望尽可能避免上面的昂贵列表操作。而不是递归，我建议使用生成器，这是一种更加“pythonic”的编程风格。

使用生成器进行过滤非常容易。内置的filter函数已经完成了，但您可以在几行内编写自己的函数：

def my_filter(f, iterable):
    for e in iterable:
        if f(e):
            yield e

反转事物的顺序有点复杂，因为您需要能够对源进行随机访问或使用O(N)额外空间（您的算法使用该空间的堆栈，即使列表遵循顺序协议，可以随机访问）。内置的reversed函数仅适用于序列，但这是一个适用于任何可迭代的版本（例如另一个生成器）：

def my_reversed(iterable):
    storage = list(iterable)  # consumes all the input!
    for i in range(len(storage)-1, -1, -1):
        yield storage[i]

请注意，与许多生成器不同，它会在开始产生输出之前立即消耗所有输入。不要在无限输入上运行它！

您可以按任意顺序组合这些，my_reversed(filter(f, lst))应该等同于filter(f, my_reversed(lst))（尽管对于后者，使用内置的reversed函数可能更好）。

上述两个生成器的运行时间（以及它们在任何顺序中的组成）将为O(N)。

使用BigΘ表示法运行时间

2 个答案: