Question

我知道Big O和BigΘ的区别，但我发现很少有我需要使用Big O或BigΩ而不是BigΘ的情况。

当给出算法以及运行时间复杂度（平均值，最差值和最佳值）的情况时，我们可以测量算法的运行时间并将其表示为Θ。（请注意算法意味着问题的清晰和循序渐进的解决方案，如果我错了，请纠正我）

一方面，只说一个算法的运行时间而不指定案例复杂性是不明确的。另一方面，如果它涉及其中一种情况，那么Big O和BigΩ就会失去它们的应用，因为我们特定于案例，最多或至少在那里失去意义。如果我们想要粗糙，我们可以简单地计算T（n）或使用Θ。

例如，快速排序算法的平均时间为Θ（n lg n），最差情况下为Θ（n ^ 2）（因为我们可以计算时间T（n）））。然而，一些人可以用O（n log n）和O（n ^ 2）来指定它们，但是Θ也是正确且更精确的。

那么我们应该如何或为什么要使用O或Ω来计算这个算法的运行时间？请不要忘记包含此特定实例的答案。

我不寻求对它们的解释，只是一些我们真正需要大O而不是大Θ的真实例子。

Answer 1

部分小答案

知道时使用Θ因为它同时传达了有关O和Ω的消息。你仍然像我在评论中那样加倍你不正确的机会。如果不知道，请使用Ω

答案很长

没关系。测量的是，big O notation，案例分析是同一问题空间中的正交维度。

您可以进行最差案例时间分析，并限制为上限O
您可以进行最佳案例空间分析并提供O和下限Ω
您可以进行摊销的案例时间分析，并提供O和Ω，结果相同，从而提供更严格的约束Θ。

现在，在最坏的情况下提供运行时间的上限是最常用的分析类型。

<强> 注意：的

如果给你做作业，它应该说明像

该算法在O方面的最坏情况时间复杂度是多少。

如果您正在解决现实问题，可以从问题本身推断出这些问题。如果您的程序因使用太多内存而被终止，那么进行运行时复杂性分析就没有意义。

要笔直，哪种符号（O，Θ或Ω）以及我们应该使用哪种时间用于快速排序算法的时间，为什么？

(O, Θ or Ω)背后的理由是什么？

假设我们有一个像矩阵乘法这样的有趣问题。人们发现乘法矩阵将有助于几个应用程序，因此他们开始寻找算法。

平均乔阿尔格。设计者使用朴素方法找到O(n^3)的算法。这不是那么低效，所以他继续前进。
下一步Strassen发现它可以改进为O(n^2.807)
现在人们开始询问它是否可以进一步改善。
此问题的一部分是 如何进一步？ 。要回复，您需要提供下限Ω。越高越好。一个界限是Ω(n^2)。 Ω(n^2 log(n))的特定范围。它们不是通过提供算法来证明的，而是可以从问题陈述中推断出来。
现在作为一名算法设计师，如果你达到了上限O(n^2 log(n))的复杂度来进行矩阵计算，你知道你已经中了大奖。当您获得累积奖金时，您开始使用Θ一次传达两条消息。
因为还没有人中奖，人们会在更好的上限中表达矩阵乘法算法的新发现，例如O(n^2.237)

最坏情况下不同下限的示例 - 数组中的重新分配

假设您使用数组实现了一个集合。要插入元素，只需将其放入下一个可用存储桶即可。如果没有可用的存储桶，则会将数组的容量增加值m。

对于插入算法 “没有足够的空间” 是更糟糕的情况。

 insert (S, e)
   if size(S) >= capacity(S) 
     reserve(S, size(S) + m)
   put(S,e)

假设我们永远不会删除元素。通过跟踪最后一个可用位置，put，size和capacity在空间和记忆中都是Θ(1)。

reserve怎么样？如果它像realloc in C那样实现，在最好的情况下，你只需在现有内存的末尾分配新的内存（保留的最佳情况），或者你也必须移动所有现有元素（更糟糕的情况下保留）

最差情况insert的下限是最好的情况 reserve() ，如果我们不挑剔则在m中是线性的。 insert in 最坏的情况是空间和时间Ω(m)。
insert的最坏情况上限是更糟糕的情况 reserve() ，在m+n中是线性的。在最坏的情况下，insert是空间和时间O(m+n)。

Answer 2

大O和最佳/平均/最差看看执行速度的不同方面。

Big O /BigΘ没有说明一些代码需要多长时间才能运行它说运行时间取决于输入大小。

实际时间取决于多种因素，几乎所有因素都被忽略。（见下文脚注）

最佳/最差/平均/典型是完全不同的运行时间。它们（通常）比Big O表示法更具体 - 但通常时间以Big（O）给出：

哈希表查找的典型时间是O（1）。最坏的情况是O（N）

请注意，此声明在技术上是不正确的：Big O 不指定时间。该陈述的迂腐版本将是：

在典型情况下，查找一个元素的时间或多或少与哈希表中的项目数（O（1））无关。最坏的情况是，查找时间与表中的项目数（O（N））成比例增长。

脚注：

大O符号甚至忽略了增长最快的术语。

如果您有两个具有确定性运行时间的算法

tA(N) = 10s * N^2 + 1s * N + 42 days 
tB(N) = 1 day * N^2

两者都是O(N^2)

即使第二个对于大N来说显然更糟，但这并没有在Big O中表达。

请记住，虽然运行时是Big O表示法的最常用用途，但它也可用于内存使用或磁盘访问或交换等特定操作。

关于您的更新：

算法的运行时间是指什么，当没有指定案例时？在最坏的情况下，它是指算法的运行时间吗？平均情况或最佳情况？

正式：如果没有指定，则没有指定。

非正式地说，在给定的背景下最有意义的东西。如果没有指定任何内容，大多数人会认为它是平均的或至少是典型的情况 - 但是你依赖的程度取决于你。

分区排序：

形式上，没有具体说明， - 任何O(f(N)) >= O(N^2)在没有指明案例的情况下都是正式的。即使O(N^N)也是正确的，只是没用。 - 任何Ω(f(N)) <= O(n lg n)

同上

规范

需要指定的内容取决于上下文。

API通常会尽可能少地指定，以便为实现留出灵活性。例如。它可能指定“检索处于摊还的常数时间”，这意味着O（1）典型情况下最坏情况更糟糕但很少发生。

API通常也只会指定Big O，，除非有更快更糟的特殊原因（例如旁道攻击）。

另一方面，完整的规范会充分指定算法，您可以自己计算所有情况的O和Ω - 以及 more 。如前所述，Big O /Ω可能不足以做出有关运行时行为的明智决策。

Inbetween，无论需要什么：

通常，O比其他更常见，因为Ω几乎从不相关，并且Θ并不总是可用。
如果只指定了一个值，则通常是平均值或典型时间，因为这样可以判断算法的“值”。
如果指定了两个值，则最坏情况另外，因为后者是比较具有相同典型行为的算法时最常见的标准，或者您有实时要求。
接下来会出现性能下降的条件。因为“O（N）典型的算法，百万分之一输入中的O（N ^ 2）”与“O（N）典型，O（N）完全不同^ 2）在星期一早晨“。
如果仍然不足，您通常会看到特定操作的最大数量，例如“最多N ^ 2 + 1个comarisons和N / 2-1交换”。

Answer 3

因此，除非另有说明，否则θ和O通常都指算法的平均运行时间。因此，分区排序是O（nlogn）和theta（nlogn）。

它们不同的原因在于，有时可以很容易地看到/证明平均情况并不比某些功能差，但仍然难以证明它的运行情况时间平均，或在某些情况下，证明什么是最佳运行时间。

例如，当multiplying matrices明确表示您可以使用O（n ^ 3）算法时，因为这就是您手动完成的方法。最着名的算法是theta（n ^ 2.4），粗略地说。然而，其他一些数学家声称算法的下限是Omega（n ^ 2 log n），而其他研究人员声称这是错误的，并且存在theta（n ^ 2）算法。

大O还是大Θ？

3 个答案: