Question

我知道最里面的for循环是Θ（logn）并且最外面的两个for循环是Θ（n ^ 2），因为它是算术和。 if语句是我的主要问题。有人知道如何解决这个问题吗？

int tally=0;
for (int i = 1; i < n; i ++)
{
   for (int j = i; j < n; j ++)
   {
        if (j % i == 0)
        {
            for (int k = 1; k < n; k *= 2)
            { 
                tally++;
            }
        }
   }
}

Answer 1

修改：
现在我注意到循环顺序：i之前的j。

在这种情况下，给定的i值j从i到n不等，并且有(n/i)个成功的if条件。

因此程序将调用大多数内部循环

n/1 +n/2+n/3+..+n/n

次。这是harmonic series的总和，收敛到n*ln(n)

因此，内部循环将执行n*log^2(n)次。

正如您所写，两个最外面的循环提供了O(n^2)的复杂度，因此总体复杂度为O(n^2 + n*log^2(n))，第一个项覆盖了第二个循环，最后，总体复杂度是二次的。

int tally=0;
for (int i = 1; i < n; i ++)
{  
   // N TIMES
   for (int j = i; j < n; j ++)
   {  
     //N*N/2 TIMES
        if (j % i == 0)
        {
         //NlogN TIMES
            for (int k = 1; k < n; k *= 2)
            { 
             //N*logN*logN
                tally++;
            }
        }
   }
}

旧答案（错误）

此复杂度与sigma0(n) function（除数的数量）相关联，并表示为sequence A006218（Dirichlet Divisor problem）

我们可以看到n的除数之和的近似值为

  n * ( log(n) + 2*gamma - 1 ) + O(sqrt(n))

因此，循环计数器j的成功if条件的平均数量为~log(j)

使用Big-Θ表示法的最坏情况下的运行时间

1 个答案: