Question

这是我需要分析的代码：

i = 1
while i < n
  do
    j = 0;
    while j <= i
       do
          j = j + 1
    i = 2i

所以，第一个循环应该运行log（2，n），最里面的循环应该运行log（2，n）*（i + 1），但我很确定这是错误的。我如何使用theta符号来证明它？

Answer 1

考虑这一点的直观方法是查看内部循环对外部循环变量i 的固定值执行了多少工作。它显然与 i 本身一样多。因此，如果 i 的值为256，那么您将多次执行j = j + 1。

因此，完成的总工作量是 i 在外部循环执行中所采用的值的总和。该变量正在迅速增加以赶上 n 。由i = 2i（它应该是i = 2*i）给出的值将类似于：2, 4, 8, 16, ...，因为我们在i = 1时开始内循环的2次迭代。这是一个几何系列：a, ar, ar^2 ... a = 1和r = 2。如您所知，最后一个字词将是n，系列中会有log2 n个字词。这是几何系列的简单总结。

对于此算法，最坏情况或最佳情况没有多大意义，因为在这种情况下，输入没有不同的排列，只是一个数字n。当特定输入（例如，特定数字序列）影响算法的运行时间时，最佳情况或最坏情况是相关的。

然后，运行时间是sum of geometric series（a.(r^num_terms - 1)/(r-1)）：

T(n) = 2 + 4 + ... 2^(log2 n)
     = 2 . (2^log2 n - 1)
     = 2 . (n - 1)
     ⩽ 3n = O(n)

因此，你不能做超过n的常数倍的工作。因此，该算法的运行时间为O(n)。

你不能做一些小于n的某个（其他）常数倍的工作，因为你必须经历内循环中的增量，如上所示。因此，该算法的运行时间也≥c.n，即它是Ω(n)。

这意味着此算法的运行时间为Θ(n)。

Answer 2

你不能在最后的表达中使用i;只有n。

每次到达时，您都可以轻松看到内循环执行i次。听起来你已经发现了i可以拥有的不同价值观。因此，将这些值加起来，就可以得到总的工作量。

Theta Notation和Worst Case运行时嵌套循环

2 个答案: