big-O表示法和theta表示法之间的区别，为什么（theta）Ө-notation适合插入排序来描述其最坏情况下的运行时间？

Question

We use Ө-notation to write worst case running time of insertion sort. But I’m not able to relate properties of Ө-notation with insertion sort, why Ө-notation is suitable to insertion sort. How does the insertion sort function f(n), lies between the c1*n^2 and c2*n^2 for all n>=n0.

插入排序的运行时间为Ө（n ^ 2）意味着它具有上限O（n ^ 2）和下限Ω（n ^ 2）。我很困惑插入排序下限是Ω（n ^ 2）还是Ω（n）。

Answer 1

使用Ө符号

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如果任何函数具有相同的上限和下限，我们可以使用Ө-notation来描述它的时间复杂度。它的上限和下限可以用单一符号指定。它只是简单地讲述了函数的特性。

示例，

suppose we have a function , 
                  f(n) = 4logn + loglogn  
             we can write this function as 
                  f(n) = Ө(logn)
             Because its upper bound and lower bound
are O(logn) and  Ω(logn) repectively, which are same 
so it is legal to write this function as , 
                  f(n)=  Ө(logn)

证明：

     **Finding upper bound :**

 f(n) = 4logn+loglogn


    For all sufficience value of n>=2

        4logn <= 4 logn   
        loglogn <= logn 

    Thus , 

     f(n) = 4logn+loglogn <= 4logn+logn
                          <= 5logn
                           = O(logn)       // where c1 can be 5 and n0 =2
**Finding lower bound :**

   f(n) = 4logn+loglogn

   For all sufficience value of n>=2

      f(n) = 4logn+loglogn >= logn
    Thus,              f(n) =  Ω(logn)   // where c2 can be 1 and n0=2


  so , 
                        f(n) = Ɵ(logn) 

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同样，在插入排序的情况下：

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If running time of insertion sort is described by simple function f(n).
In particular , if f(n) = 2n^2+n+1 then 

Finding upper bound:
      for all sufficient large value of n>=1
                         2n^2<=2n^2   ------------------- (1)
                           n <=n^2    --------------------(2)
                           1 <=n^2    --------------------(3)
        adding eq 1,2 and 3, we get.
                     2n^2+n+1<= 2n^2+n^2+n^2
        that is 
                         f(n)<= 4n^2
                         f(n) = O(n^2)  where c=4 and n0=1 

Finding lower bound:
       for all sufficient large value of n>=1
                           2n^2+n^2+1 >= 2n^2
         that is , 
                                f(n) >= 2n^2
                                f(n) = Ω(n^2) where c=2 and n0=1     
      because upper bound and lower bound are same,
                                f(n) = Ө(n^2)


   if f(n)= 2n^2+n+1 then, c1*g(n) and c2*g(n) are presented by diagram:

在最坏的情况下，插入排序上限和下限是O（n ^ 2）和Ω（n ^ 2），因此在最坏的情况下，将插入排序的运行写为Ө（n）是合法的^ 2））

在最好的情况下，它将是Ө（n）。

Answer 2

插入时间的最佳情况是Ө（n），最坏的情况是Ө（n ^ 2）。因此插入排序的运行时间为O（n ^ 2）而不是Ө（n ^ 2）。 O（n ^ 2）表示算法的运行时间应小于或等于n ^ 2，其中Ө（n ^ 2）表示它应该完全等于n ^ 2.

最坏的情况下运行时间永远不会小于Ө（n ^ 2）。我们使用Ө（n ^ 2）因为它更准确。

Answer 3

插入排序时间“计算”复杂度：O（n ^ 2），Ω（n）

O(SUM{1..n}) = O(1/2 n(n+1)) = O(1/2 n^2 + 1/2 n)) ~ O(n^2)

Ө(SUM{1..(n/2)}) = Ө(1/8 n(n+2)) = Ө(1/8 n^2 + 1/4 n) ~ Ө(n^2)

这篇文章显示Gapped Insertion Sort是O（n log n），是插入排序的最佳版本：Gapped Insertion Sort

但是如果你正在寻找更快的排序算法，那么Counting Sort在最坏的情况下有时间：O（3n），当k = n（所有符号都是唯一的）时，空格：O（n）