快速确定密集完整图中从A到B的k长度路径数的方法

Question

给定一个完整的密集图（超过250.000个节点），确定从节点A到B的k长度路径数的最快方法是什么？

Answer 1

我知道这是一个老帖子，但我有完全相同的问题，但找不到答案。

我喜欢把这个问题看作是“没有重复的排列”，因为访问的节点的顺序很重要（排列），我们不回溯（没有重复）。没有重复的排列数是：n！/（n-r）！

对于具有N个节点的完整图，在创建给定A和B之间的路径时，还有N-2个剩余节点可供选择。要创建长度为K的路径，必须从剩余的K-1节点中选择排除A和B之后的节点。因此，在这种情况下，n = N-2，并且r = k-1。

插入上述公式得出：

（N-2）！/（N-K-1）！

示例：对于N = 5，对于节点0,1,2,3,4，以下路径可以从0到1：

0 1

0 2 1

0 2 3 1

0 2 3 4 1

0 2 4 1

0 2 4 3 1

0 3 1

0 3 2 1

0 3 2 4 1

0 3 4 1

0 3 4 2 1

0 4 1

0 4 2 1

0 4 2 3 1

0 4 3 1

0 4 3 2 1

这产生1条长度为1的路径，3条长度为2的路径，6条长度为3的路径，以及6条长度为4的路径。

这似乎适用于任何N> = 2且K <= N-1。

Answer 2

您可以使用基本上动态编程：对于每个节点Y和路径长度k，如果您知道路径长度为K-1的A到X的路径数，则可以计算从长度为k的A到Y的路径数对于所有节点X.总复杂度为O（KV），其中K是您尝试计算的总路径长度，V是顶点数。