Question

我有一个具有2 ^ N个节点的DAG，其值为0到2 ^ N-1。如果x

Answer 1

迈克尔有一些很好的见解，但我不确定我是否遵循了他的整个论点。这是我的解决方案。

假设N = 4，K = 2。所以节点范围从0（0000 ₂）到15（1111 ₂）。

现在让我们考虑节点2（0010 ₂）。存在从2到3的边缘（0011 ₂），因为2＆lt; 3和xor（2,3）= 1 = 2 ⁰。还有从2到6的边缘，因为2＆lt; 6和xor（2,6）= 4 = 2 ²。并且存在从2到10的边缘，因为2＆lt; 10和xor（2,10）= 8 = 2 ³。

概括：对于任何x，考虑x中的所有0位。通过将0位中的任何一位翻转为1，您得到的数字y大于x并且与x相差一位。所以从x到y都存在边缘。

x中的1位数通常称为x的总体计数。我将使用pop（x）来表示x的人口数。

我们正在处理N位数（当我们包含前导零时），因此x中的0位数是N - pop（x）。

让我们使用术语“ j -path”来表示长度 j 的路径。我们想要计算K路径的数量。

每个节点x都有N - pop（x）传出边。这些边缘中的每一个都是1路径。

让我们考虑节点5（0101 ₂）。节点5的边缘为7（0111 ₂），节点7的边缘为15（1111 ₂）。节点5还具有到13的边（1101 ₂），并且节点13具有到15的边（1111 ₂）。因此，节点5中有两条2路径：5-7-15和5-13-15。

接下来让我们再看一下节点2（0010 ₂）。节点2的边缘为3（0011 ₂），其边缘为7（0111 ₂）和11（1011 ₂）。节点2还具有到节点6的边（0110 ₂），其边缘为7（0111 ₂）和14（1110 ₂）。最后，节点2具有到节点10的边（1010 ₂），其边缘为11（1011 ₂）和14（1110 ₂ ）。总之，节点2有六条2路：2-3-7,3-3-11,2-6-7,2-6-14,2-10-11和2-10-14

模式是，对于z比特设置为零的任何节点x，其中z≥K，x中有一些K路径。要找出x中的K路径，可以选择任何K的零位。将这些位逐个翻转为1，为您提供路径。您可以按任何顺序翻转位;每个订单都有不同的路径。

如果您想从一组n个项目中选择k个项目，按特定顺序，这些项目称为无需替换的有序样本，并且有n! / (n-k)!个方法可以执行此操作。这通常写成_n P _k，但这里输入P（n，k）更容易。

因此，具有正好2个零位的节点具有P（2,2）= 2！ /（2-2）！ = 2个2路径。（注意0！= 1.）具有正好3个零位的节点具有P（3,2）= 3！ / 1！ = 6个2路径。恰好有4个零位的节点有P（4,2）= 4！ / 2！ = 12个2路径。（因为我使用N = 4作为示例，所以只有一个节点恰好有4个零位，即节点0。）

但是我们需要知道，有多少节点正好有2个零位？那么，当有n个项目可供选择时，我们想要选择其中的k个，并且我们不关心所选项目的顺序，这称为无序替换的无序样本，以及有n！ /（k！（n-k）！）方法。这被称为“n选择k”，它通常以我无法在堆栈溢出时重现的方式编写，因此我将其写为C（n，k）。

对于N = 4的示例，有C（4,2）= 6个节点，正好2位设置为零。这些节点是3（0011 ₂），5（0101 ₂），6（0110 ₂），9（1001 _{2 < / sub>），10（1010 ₂）和12（1100 ₂）。这些节点中的每一个都有P（2,2）2路径，因此这意味着有C（4,2）* P（2,2）= 6 * 2 = 12个2路径的节点两个0位。}

然后有C（4,3）= 4个节点，正好3位设置为零。这些节点为1（0001 ₂），2（0010 ₂），4（0100 ₂）和8（1000 _{2 ）。这些节点中的每一个都有P（3,2）2路径，所以有C（4,3）* P（3,2）= 4 * 6 = 24个2路径的节点正好有3个0位。}

最后，有C（4,4）= 1节点，正好4位设置为零。该节点有P（4,2）= 12个2路径。

因此，当N = 4时，2路径的总数是C（4,2）* P（2,2）+ C（4,3）* P（3,2）+ C（4,4） * P（4,2）= 12 + 24 + 12 = 48。

对于一般N和K（其中K≤N），K路径的数量是K≤z≤N的C（N，z）* P（z，K）之和。

我可以像这样输入Wolfram Alpha（或Mathematica）：

Sum[n!/(z! (n - z)!) z!/(z - k)!, {z, k, n}]

And it simplifies it to this：

2^(n-k) n! / (n-k)!

Answer 2

陈述的问题似乎与此相同：

考虑长度为N的所有可能二进制字符串的集合。考虑将第i位从0翻转到1的操作Fi。对于字符串x＆amp; y表示| x |设定位数x

当且仅当（x，y）是K-可接受时，很容易看出可以通过一系列精确的K操作来从x获得y。而且，如果我们修正x并总结所有y使得（x，y）是K-允许的，我们得到（N | | x |）！

最后，我们需要用| x |＆lt; =（N-K）来总结所有x。对于给定的| x |选择我们有N！/（N | | x |）！| x |！可能的x选择。结合上面的内容，你可以得到给定的| x |有N！/ | x |！可能的路径。

表示| x | = M，M从0到N-K，你的答案是N！/ M中所有M的总和！

计算长度为K的DAG中的路径数

2 个答案: