非常密集的无向简单图中的Hamilton路径数

Question

在极其密集的无向简单图中计算Hamilton路径数的最快方法（算法）是什么（大约99.99％的边连接）？

我正在考虑以下方式：

首先，计算完整图表中Hamilton路径的数量。

一次删除一条边，但我无法弄清楚在删除边时会减少多少条路径。还有如何在去除边缘时防止重复计算？

我在Math.SE上遇到了一个类似的问题，但那是关于汉密尔顿循环而不是路径，我希望这会大大改变这个问题。答案也不太清楚，因此这篇文章。

Answer 1

我不认为你可以计算没有汉密尔顿路径的数量 实际上生成路径或单独考虑每个路径 在数数。对于特殊图形 - 如完整图形 - 这个 肯定是可能的，但不是一般的。

您可以在完整图表中生成所有汉密尔顿路径并进行检查 对于每一个，如果它使用图表中边缘的子集。当然 你可以通过修剪某些分支来加快速度 在完整的图中生成Hamilton路径。

由于您的图表非常大，因此这种方法肯定不是 可行。但是，您可以计算所有路径的数量 包含缺失边之一的完整图，然后减去 这个号码。

我不认为这是微不足道的。关于它的一些想法：让我们考虑一下 最简单的情况是只缺少一条边。我们可以描述一条路径 具有一系列边或节点。我们假设您的图表有n 节点。 a中缺少边缘有n-1个可能的位置 哈密​​尔顿路径通过完整的图表。可以遍历边缘 可以遍历两个方向和不与边缘相邻的节点 在(n-2)!个不同的订单中。因此我们可以减去

2 * (n-1) * (n-2)! = 2 * (n-1)!

从汉密尔顿路径的总数到完整的图表 获得所需的结果。

如果缺少两条边，我们不能只减去两次 数字，因为我们计算两次路径，即路径 包含两个边。所以我们必须计算这个数字并加上它 再次。但现在变得复杂了：重要的是如何边缘 有关系。如果它们相邻，则数量小于它 否则。所以一般来说，你不能只计算数量 汉密尔顿路径包含k个缺失的边缘，但它是 重要的是你考虑哪些边缘以及它们是否是 相邻与否。

但是，让我们说你可以计算通过某个路径的路径数量 选择边缘（所有排列，遍历和方向） 在路径中的位置）。让我们进一步假设k个边缘 失踪。您可以计算包含至少一个的路径数 像这样的边缘：

分别计算通过任何k边的路径数 总结一下。

对于每对边缘，您已计算穿过该对的路径 两次，所以再次减去这些路径（考虑每一对 个别地）。

现在考虑包含三条边的路径。他们已 计数六次并减去三次（三对不同），所以 你必须减去它们两次。

包含四条边的路径必须减去3次（因为 它们在包含3个边的路径中表示4次）。所以 上。

但是又一次：你必须考虑边缘的每个组合 个别。甚至可能是某一组边缘 不兼容，因为某个节点出现三次。也考虑进去 考虑遍历边缘的方向。

所以没有简单的公式，但是如果缺少边数是 非常小，你可以计算路径。