程序的指数复杂性

Question

我有一个程序，它依赖于两个大小为m和n的条目。如果T（m，n）是问题的运行时间，则遵循：

T（M，N）= T（M-1，N-1）+ T（M-1，N）+ T（M，N-1）+ C

对于给定的常数C。

我可以证明时间复杂度是欧米茄（2 ^ min（m，n））。然而，它似乎是复杂的欧米茄（2 ^ max（m，n））（它刚刚向我证实）但我找不到正式的证据。有人有诀窍吗？

提前致谢！

Answer 1

首先，您应该定义，对于x的所有值，T（0，x）= T（x，0）= 0以使递归停止 - 或者至少T（0，x）= T（x ，0）= C.

其次，“时间复杂度在欧米茄（2 ^ min（m，n））”显然必定是错误的。设m = 10000，n = 1。现在试着向我证明复杂性与m = 1和n = 1相同。 T（m-1，n-1）和T（m，n-1）部分很快消失，但你仍然需要走T（m-1，n）部分。

第三，这种观察直接导致2 ^ max（m，n）。尝试找出m和n的一些低值的递归步数。然后尝试根据m和n构成步数的公式。 （提示：斐波那契）。当你有这个公式时，你已经完成了。

Answer 2

从我的头顶：
我假设当达到T（0，x）或T（x，0）时T（m，n）的递归停止。

您有3个因素导致复杂性：

1. 因子1：T（m-1，n-1）减小m和n，因此它的长度直到m或n变为0是min（m，n）步（见下面的注释）
2. 因子2：T（m-1，n）仅减小m，因此直到m = 0的长度为m步。
3. 因子3：T（m，n-1）与上述相同，但直到n = 0才是n步。

总体复杂性是所有复杂性中的较大者，因此它必须与最大值

相关

max( min(m,n) steps, m steps, n steps) = max(m,n)
rather than min(m,n).

我想你可以填写细节。常数C没有贡献，或更精确地贡献O（1），这是所有复杂性中最低的。

关于第1项的注意事项：该因子也有m-1的分支，直到0和n-1到0，所以严格来说它的复杂性也是max（m，n）