Question

问题：找到切割长度为n的杆的最佳方法每个切割是整数长度假设每个长度i杆的价格为p（i）给定：长度为n的杆，以及价格列表p，它提供了0到n之间每个可能整数长度的价格。

找到最佳切割量以获得最高价格可以使用任意数量的切割，从0到n-1 切割没有任何费用。

下面我提出了一个针对这个问题的天真算法。

CUT-ROD(p,n)
if(n == 0)
    return 0
q = -infinity
for i = 1 to n
    q = max(q, p[i]+CUT-ROD(p,n-1))
return q

如何证明此算法是指数的？一步步。我可以看出它是指数级的。但是，我无法证明它。

Answer 1

为了清晰起见，我们将代码翻译成C ++：

int prices[n];
int cut-rod(int n) {
  if(n == 0) {
    return 0;
  }
  q = -1;
  res = cut-rod(n-1);
  for(int i = 0; i < n; i++) {
    q = max(q, prices[i] + res);
  }
  return q;
}

注意：我们正在缓存结果of cut-rod(n-1)，以避免不必要地增加算法的复杂性。在这里，我们可以看到cut-rod(n)调用cut-rod(n-1)，调用cut-rod(n-2)等等，直到cut-rod(0)。对于cut-rod(n)，我们看到函数迭代数组n次。因此，算法的时间复杂度等于O(n + (n-1) + (n-2) + (n-3)...1) = O(n(n+1)/2)，大约等于O((n^2)/2)。

修改如果我们使用与问题中的算法完全相同的算法，则其时间复杂度为O（n！），因为cut-rod（n）称切割杆（n-1）n次。切杆（n-1）称切杆（n-2）n-1次，依此类推。因此，时间复杂度等于O（n *（n-1）*（n-2）... 1）= O（n！）。

找到指数算法的时间复杂度

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