如何比较指数复杂性？

Question

我有一个在O(√x)中运行的算法，其中x是我的输入。

现在，我不想使用x，而是使用x的位数，即n。我知道x = O(2ⁿ)，因此我的算法应为O(√x) = O(2n/2)。是不是？

我无法理解的是，据我所知，O(2n/2)相当于O(2ⁿ)（换言之：2n和2n/2以相同的速度增长）。但这可能是对的，因为这意味着O(√x)等同于O(x)，这是假的（x和√x不会增长相同的速度）。

我做错了什么？

Answer 1

您的假设O(2n)和O(2n/2)相同，是错误的。

limn → ∞ 2n/2n/2 = limn → ∞ 2n/sqrt(2)n = limn → ∞ (2/sqrt(2))n = ∞

因此2n/2位于o(2n)（小-o）。

一般情况下：设a,b ∈ ℝ。

                               = ∞   ∀ a > b   ⇒   aⁿ ∈ ω(bⁿ)
limn → ∞ an/bn = limn → ∞ (a/b)n = 1   ∀ a = b   ⇒   aⁿ ∈ Θ(bⁿ)
                               = 0   ∀ a < b   ⇒   aⁿ ∈ o(bⁿ)

Answer 2

O(2n/2) 等同于O(2n)！

就O符号而言，在谈论指数行为时，不同的基础并不等同。