比较复杂性

Question

我有三个问题需要进行考试复习：

1. 如果f(n) = 2n - 3提供两个不同的函数g(n)和h(n)（因此g(n)不等于h(n)），f(n) = O(g(n))和{ {1}}
2. 现在再次使用函数f(n) = O(h(n))和g'(n)执行相同操作，但这次函数应该是格式 h'(n)和g'(n) = Ɵ(f(n))
3. 是否可以使用f(n) = o(h'(n))和f(n) = O(g(n))？

我知道一个函数是另一个函数的f(n) = Ω(g(n))，如果它小于或等于另一个函数。所以我认为1.可以是O(n)和g(n) = 2n²-3。

我也知道，如果函数基本上等于另一个函数（我们可以忽略常量），则函数是h(n) = 2n²-10，而Ɵ(n)如果它只是小于函数，那么对于2.我想你可以o(n)和g'(n) = 2n-15。

至3：函数可能同时为h'(n) = 2n和O(n)，因为Ω(n)和O(n)允许函数与给定的函数相同函数，因此您可以使函数Ω(n)等于g(n)，并且满足同时为f(n)和O的规则。

有人可以告诉我这是否正确？

Answer 1

你的回答大多正确。但我想补充一点：

鉴于是f(n) = 2n - 3

1. g(n) = 2n²-3和h(n) = 2n²-10 f(n)位于O(g(n))和O(h(n))。但是你的g（n）和h（n）基本相同，至少它们都在Θ(n²)。还有许多其他功能也可以使用。 E.g。

   • f(n) ∈ O(n) ⇒ g(n) = n
   • f(n) ∈ O(nk) ⇒ g(n) = nk ∀ k ≥ 1
   • f(n) ∈ O(2ⁿ) ⇒ g(n) = 2ⁿ
如果我们考虑复杂性，

2. g'(n) = 2n-15会缩减为g'(n) = n，这是正确的。事实上，这是唯一可能的答案 但f(n) ∈ o(h'(n))不适用于h'(n) = 2n。小o意味着

   limn → ∞ | f(n)/g(n) | = 0           ⇔           f(n) ∈ o(g(n))
   

   因此，您可以为常量h'(n) = n²选择h'(n) = nk ∀ k > 1或更一般的h'(n) = cⁿ或c > 1。

3. 是的，您可以将其作为Θ(g(n))的定义：

   f(n) ∈ Θ(g(n))        ⇔      f(n) ∈ O(g(n))    and    f(n) ∈ Ω(g(n))