假设我们有两个函数f（n）= 2 2 n + 1 和g（n）= 2 2 n 。我想用两种不同的方法比较这两种函数的增长率。
让我们定义t（n）= f（n）/ g（n）。然后
t（n）= f（n）/ g（n）
= 2 2 n + 1 / 2 2 n
= 2 2 n + 1 - 2 n
= 2 2 n
因此我们假设f（n）比g（n）增长得快得多。
如前所述，设t（n）= f（n）/ g（n）。现在，我们来看两个方面的基数：
lg t（n）= lg（f（n）/ g（n））
= lg（2 2 n + 1 / 2 2 n ）
= lg 2 2 n + 1 - lg 2 2 n ）
= 2 n + 1 - 2 n
现在，让我们从两个方面取两个对数：
lg lg t（n）=（n + 1）lg 2 / n lg 2
=（n + 1）/ n
忽略常数项，我们得到lg lg t（n）= 1，这是一个常数，所以f（n）和g（n）应该具有相同的增长率。
为什么我使用方法二得到了错误的答案？
答案 0 :(得分：2)
你出错的地方：“忽略不变的术语”。
t（n）=（n + 1）/ n = n / n + 1 / n = 1 + 1 / n> 1
答案 1 :(得分：2)
我认为您的错误假设如下：
如果log log f（x）/ log log g（x）是常数，则f（x）=Θ（g（x））。
这是一个简单的反例。令f（x）= x 2 且g（x）= x。然后
log log f（x）= log log x 2 = log（2 log x）= log 2 + log log x
和
log log g（x）= log log x
这里，log log f（x）和log log g（x）只是一个常数（即log 2），但很明显f（x）和g（x）以相同的速率增长是不正确的。换句话说，在记录两个函数的增长率之后忽略常量是不安全的。
你的逻辑中有第二个错误。如果你计算f（n）/ g（n），你得到
2 2 n + 1 / 2 2 n
= 2 2 n + 1 - 2 n
= 2 2 n
如果你记录这两次，你会得到
lg lg 2 2 n
= lg 2 n
= n
因此，比率的对数日志是（n + 1）/ n，这是不正确的。相反，它是n，它仍然趋向无限。这也会告诉你f（n）比g（n）增长得快得多。
希望这有帮助！