分析怪异数学表达式（logN）^ logN和n / logN之间的BIg O关系

Question

（logN）^ logN和n / logN 这两者之间的大O关系是什么？以及如何推导证明这种关系？

Answer 1

您可以做的一个初步观察是，如果您记录这两个表达式的日志，则会得到以下结果：

  

log（（log n） ^{log n} ）= log n log log n

     

log（n / log n）= log n - log log n

请注意，这些术语中的第一个比第二个增长得快，所以我们希望得到n / log n = O（（log n） ^{log n} ）。

为了证明这一点，我们可以采用这些表达式的比率极限，因为n倾向于无穷大。如果我们得到0，那么我们就完成了。我会把这作为一个众所周知的练习留给读者。 ： - ）

希望这有帮助！

Answer 2

替换x = log n。如果对数位于基数a，则表示n = a^x。现在，

(log n)^(log n) = x^x
n / log n       = a^x / x

当x > a和a > 1 x ^x ＆gt;时一个 ^X

另一方面，当x > 1时， ^x ＆gt; a ^x / x。

将这两者结合起来，得到x ^x ＆gt; a ^x / x。如果您现在替换回来，

(log n)^(log n) > n / log n        when log n > a, i.e. when n > a^a 

这证明n / log n在O（（log n） ^{log n} 中。