根据我的研究：我被要求确定一个函数相对于另一个函数的复杂性。即，给定f(n)和g(n)，确定O(f(n()。在这种情况下，我使用O(), Theta and Omega notations替换值，比较它们并得出复杂性。
但是，在substitution method for solving recurrences中，每个标准文档都有以下几行：
• [Assume that T(1) = Θ(1).]
•Guess O(n3) . (Prove O and Ω separately.)
•Assume that T(k) ≤ ck3 for k < n .
•Prove T(n) ≤ cn3 by induction.
除了f（n）之外，我怎么能找到O和Ω？我可能错了（我，绝对是），欢迎提供上述任何信息。
上面的一些假设是参考这个问题：T(n) = 4T(n/2) + n
，而步骤的基本概要是针对所有这些问题。
答案 0 :(得分：2)
通过主定理可以解决特定的重现，但您可以从替换方法中获得一些反馈。让我们尝试一下cn^3的初步猜测。
T(n) = 4T(n/2) + n
<= 4c(n/2)^3 + n
= cn^3/2 + n
假设我们选择c以便n <= cn^3/2为所有相关的n，
T(n) <= cn^3/2 + n
<= cn^3/2 + cn^3/2
= cn^3,
所以T是O(n^3)。这个推导的有趣部分是我们使用立方项来消除线性项。这样的矫枉过正常常表明我们可以猜到更低。我们试试cn。
T(n) = 4T(n/2) + n
<= 4cn/2 + n
= 2cn + n
这不起作用。右边和我们想要的边界之间的差距是cn + n，这是我们想要的边界的大Theta。这通常意味着我们需要更高的猜测。我们试试cn^2。
T(n) = 4T(n/2) + n
<= 4c(n/2)^2 + n
= cn^2 + n
起初看起来也像失败一样。然而，与我们对n的猜测不同，赤字本身就是一点点。我们可以通过考虑cn^2 - h(n)形式的界限来关闭它，其中h是o(n^2)。为何减法？如果我们使用h作为候选界限，我们就会出现赤字;通过减去h，我们运行盈余。 h的常见选择是低阶多项式或log n。我们试试cn^2 - n。
T(n) = 4T(n/2) + n
<= 4(c(n/2)^2 - n/2) + n
= cn^2 - 2n + n
= cn^2 - n
这恰好是复发的确切解决方案，这对我来说相当幸运。如果我们改为猜测cn^2 - 2n，我们就会留下一些信用。
T(n) = 4T(n/2) + n
<= 4(c(n/2)^2 - 2n/2) + n
= cn^2 - 4n + n
= cn^2 - 3n,
略小于cn^2 - 2n。