Question

这是一个简单的C程序：

int f(int n) {
  if(n==0 || n==1) {
    return n;
  } else {
    return 2 * f(n - 1) + 3 * f(n - 2);
  }
}

该程序具有指数时间复杂度。您可以在此f(5)函数调用图中看到这一点：

n = 5

我想表明该函数仅使用递推方程具有指数复杂性，而不是通过绘制图表和计算函数调用的数量。

我想出的复发关系是

T（n）= T（n-1）+ T（n-2）+ c

扩展提供

T（n）= 2T（n-2）+ T（n-3）+ 2c

但是，我不知道如何进一步解决这个问题。我该如何解决这种递归关系？

Answer 1

对于初学者来说，你的复发需要某种基本情况，因为否则当你达到0时它是未定义的。为简单起见，让我们说

T（0）= a

T（1）= a + b

T（n + 2）= T（n）+ T（n + 1）+ c

让我们开始扩展此重复的前几个术语：

T（0）= a
T（1）= a + b
T（2）= 2a + b + c
T（3）= 3a + 2b + 2c
T（4）= 5a + 3b + 4c
T（5）= 8a + 5b + 7c
T（6）= 13a + 8b + 12c
T（7）= 21a + 13b + 20c

这里有一个非常有趣的模式。让我们分别看一下a，b和c项的系数。一个术语的系数遵循模式

1,1,2,3,5,8,13,21，......

这是Fibonacci系列，偏移了一步。 b项的系数是

0,1,1,2,3,5,8,13 ......

完全斐波那契系列。最后，我们来看看c术语：

0,0,1,2,4,7,12,20 ......

嗯，这看起来并不熟悉。但是，如果我们将其与条款并排放置，我们会看到：

a：1,1,2,3,5,8,13,21 ......

b：0,0,1,2,4,7,12,20 ......

请注意，b条款是减去一个条款的所有条款！换句话说，它是斐波纳契系列向前移动一步，但每个项减去1。

根据这些观察结果，我们可以推测以下情况属实：

T（n）= aF _{n + 1} + bF _n + c（F _{n + 1} - 1）

我们现在可以通过归纳来证明这一点。作为我们的基本案例：

T（0）= a = 1a + 0b + 0c = 1a + 0b +（1 - 1）c = aF ₁ + bF ₀ + c（F ₁ - 1）

T（1）= a + b = 1a + 1b + 0c = 1a + 1b +（1 - 1）c = aF ₂ + bF ₁ + c （F ₂ - 1）

对于我们的归纳步骤，让我们假设对于某些自然数n，

T（n）= aF _{n + 1} + bF _n + c（F _{n + 1} - 1）

那个

T（n + 1）= aF _{n + 2} + bF _{n + 1} + c（F _{n + 2} - 1）

然后我们有了

T（n + 2）= T（n）+ T（n + 1）+ c

= aF _{n + 1} + bF _n + c（F _{n + 1} - 1）+ aF _{n + 2} + bF _{n + 1} + c（F _{n + 2} - 1）+ c

= a（F _{n + 1} + F _{n + 2}）+ b（F _n + F _{n + 1}）+ c（F _{n + 1} + F _{n + 2} - 2 + 1）

= aF _{n + 3} + bF _{n + 2} + c（F _{n + 3} - 1）

这样就完成了归纳，所以我们的公式必须正确！

那么这与效率有何关系？好吧，Binet's formula告诉我们F _n =Θ（φⁿ），其中φ是golden ratio（约1.61）。这意味着

T（n）= aF _{n + 1} + bF _n + c（F _{n + 1} - 1）=aΘ（φ ⁿ）+bΘ（φⁿ）+cΘ（φⁿ）=Θ（（a + b + c）φ^n功能）

因此，只要a + b + c≠0，运行时间为Θ（φⁿ），这是指数。

希望这有帮助！

使用递归关系证明函数具有指数运行时？

1 个答案: