指数递减的递归关系具有递增值

Question

n <- 35
F <- rep(0,n)
N <- rep(0,n)
F[1] <- 1
F[2] <- 1/3
for (k in 3:n) F[k] <- (10/3)*F[k-1]- F[k-2]
F
N <- seq(from=1, to=n, by=1)

如果你不熟悉求解线性递推方程，那根本不重要。 无论如何，我们可以从上面求解递归方程得到F [n] = 3 ^（1-n）的结果，即F [n] =（10/3）F [n-1] -F [n-2] ]，f 1 = 1，f 2 = 1/3。

因此，请使用

plot (N, F,type="l")

我们可以期望“3 ^（1-n）”的图形称为指数函数。

但是，输出与预期不同。与

的输出相比

curve(3^(1-x),0,35, add=TRUE, col='blue')

如您所知，3 ^（1-x）是单调递减函数。尽管有所期待，但我们只能获得在后期计算中增加的图表。

F[18]>F[19]
TRUE
F[19]>F[20]
FALSE

发生什么事了？一般来说，“F [n]> F [n + 1]”的所有输出都应为TRUE。

如果我将从35分配给“n”的数字增加到50，

n <- 50
plot (N, F,type="l")

图形的形状变得完全奇怪。

我猜这个原因是基于“双精度二进制浮点数”（http://en.wikipedia.org/wiki/Double_precision）。在我看来，R在重现关系中反向分配小于0.0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 * 2 ^（ - 52）（有52个零）的数字作为更大的数字。

但是，我不知道我的假设是否属实。即使我的假设是正确的，为什么R将非常小的数字反向分配为更多的大数，只在“递归关系”中，而不是像3 ^（n-1）这样的一般函数？ 此外，在“n = 50”的情况下，为什么R总是改变图形的形状？

你可以帮帮我吗？

提前谢谢。

Answer 1

这与R，per-se以及与计算机所代表的浮点值无关。

递归关系就像微分方程一样，问题分为两部分 - 关系和初始条件。更改初始条件，您有不同的解决方案。

请注意，对于初始条件F[1] <- 1; F[2] <- 3，解决方案为3^(x-1)（未经证明，但很容易验证）。指数函数增加。

接下来，请注意元素之间的比例（这里同时查看H的中间值也很有启发性）：

H <- tail(F, -1) / head(F, -1)
c(head(H, 1), tail(H, 1))
## [1] 0.3333333 3.0000000

你正在解f（x）= 3 ^（1-x）和f（x）= 3 ^（xk）之间转换（对于某些常数k - 这里不是1，但计算是没有意义的它确切地说。）

原因是当你减去F [k-2]时，算术并不精确，所以你不要在每个阶段都减去足够的数，这就好像你有一个更高的初始条件来确定那个阶段。

给出F的前N个点是有效的，然后在该阶段使用递归关系求解。这给出了一系列功能。这就是数字计算时发生的情况 - 每次计算都是一组不同的初始条件。

你实际上是在计算f（x）=（10/3）f（x-1） - f（x-2）+ e（f（x-2））的解，其中e（x）＆gt; ;所有x都为0（表示减法中从末尾开始的位）。