Question

复杂性分析noob在这里。

我试图使用下面给定的递归关系来计算递归算法的时间复杂度 -

T(n) = n + 4T(n/2)

我知道有三种方法，但我试图通过总结树的每个级别完成的工作量来解决。

当我绘制递归树时，我得到像这样的结构

                        n                          | n work
                     /     \
              4T(n/2)        4T(n/2)               | 2n work
             /     \         /        \
         4T(n/2)   4T(n/2)   4T(n/2)  4T(n/2)      | 4n work

          .          .          .       .
          .          .          .       .
     Theta(1) Theta(1) Theta(1).......Theta(1)     | ???

我坚持计算总和 （n + 2n + 4n + 8n ......） 因为

我无法弄清楚最后一个词。
即使我这样做，我也意识到这是一个比率为r> 1的几何系列，所以我无法真正计算总和。

有人可以帮我理解如何解决这个问题吗？

修改注意：我从这里找到了问题 - http://fileadmin.cs.lth.se/cs/Personal/Rolf_Karlsson/lect1.pdf哪里有解决方案，但我并不完全遵循它，看起来我的表达至少是正确的，但我无法遵循最后一个学期得到了。

Answer 1

元素a，ar，ar ^ 2，...，ar ^ n-1的几何级数求和公式由

给出

S(n) = a((r^n)-1)/(r-1)  // in case of r>1

深度为i的节点的子问题大小为n /（2 ^ i）。因此，当 n/(2^i) = 1 时，子问题的大小为1，或等效地，当i = log ₂ n时。

每个级别的节点数比上面的级别多4倍，因此深度为i的节点数为4 ^ i。

因为每个级别的子问题大小减少了2倍，我们从根向下，每个节点在深度i，对于i = 0,1,2，...，log ₂ n-1，成本为c * n /（2 ^ i）。相乘，我们看到深度为i的所有节点的总成本，对于i = 0,1，...，log ₂ n-1 4^i * c * n/(2^i) = (2^i)*c*n 。

深度log ₂ n的最后一级有4 ^（log ₂ n）= n ^（log ₂ 4）=（ n ^ 2）元素，每个元素贡献成本T（1），即θ（n ^ 2）。

将所有级别的费用加起来，

T（n）= cn + 2cn + 4cn + ... + cn *（2 ^ log ₂ n-1）+θ（n ^ 2）

 = cn*[(2^log<sub>2</sub>n)-1]/(2-1) + θ(n^2)

 = cn*[(n^log<sub>2</sub>2)-1] + θ(n^2)

 = cn*(n-1)+ θ(n^2)

 = cn^2 - cn + θ(n^2)

 = θ(n^2).    // OR    O(n^2) for an upper bound.

因此，递归树的复杂性为θ（n ^ 2）。你可以很好地说它的复杂性是O（n ^ 2）。

Answer 2

从根到叶子，树的每个级别都会看到def convert_from_dotted_keys(hash) new_hash = {} hash.each do |key, value| h = new_hash parts = key.to_s.split('.') while parts.length > 0 new_key = parts[0] rest = parts[1..-1] if not h.instance_of? Hash raise ArgumentError, "Trying to set key #{new_key} to value #{value} on a non hash #{h}\n" end if rest.length == 0 if h[new_key].instance_of? Hash raise ArgumentError, "Replacing a hash with a scalar. key #{new_key}, value #{value}, current value #{h[new_key]}\n" end h.store(new_key, value) break end if h[new_key].nil? h[new_key] = {} end h = h[new_key] parts = rest end end new_hash end个半部，因此树的级别为n。

总和将是：

log2(n)

上述所有分析均假设n是2的幂，但与大多数情况一样，假设不重要。

使用递归关系分析时间复杂度

2 个答案: