使用递归关系的算法时间复杂度

Question

我有两个关于使用递归关系分析时间复杂度的问题。

问题1.如何在使用memoization时形成算法的递归关系？这甚至可能吗？

例如，考虑计算Fibonacci序列的第n项。算法将是：

fib(n)
    if n < 2
        return n
    else
        return fib(n-1)+fib(n-2)

这段代码的递归关系是：

T（n）= T（n-1）+ T（n-2）+ c。这个时间复杂度大约是2 ^ n。

此代码的备忘版本为：

MemFib(n)
    if n < 2
        return n
    else
        if F[n] is undefined
            F[n] = MemFibo(n − 1) + MemFibo(n − 2)
        return F[n]

（注意：我从Jeff Erickson的笔记中得到了这个，可以在这里找到：http://jeffe.cs.illinois.edu/teaching/algorithms/。这个算法在第5章 - 动态编程中）

这是O（n）的复杂性。我理解为什么这是O（n），因为我们将值存储在表'F'中并尽可能地执行查找但是我不知道如何以数学方式证明这一点。

现在对我而言，似乎递归关系与第一个例子（T（n-1）+ T（n-2）+ c）相同，这显然是错误的。你怎么写这个的递归关系？是否可以为此编写关系，因为我们不会一直执行递归调用？如果不可能，您如何正式证明时间复杂度为O（n）？

问题2.如何分析以下格式的算法的复杂性：

T（n）= a T（n / b）+ c T（n / d）+ x？

这里x是常数。

Answer 1

对于第一个问题，递归关系不再为真，因为T（n）可能有两个值，具体取决于它是否已被调用（O（n）或O（O） 1））。

编写重复的方法是区分第一次和第二次调用：

Tf(n) = Tf(n-1) + Ts(n-2) + c = Tf(n-1) + O(1) + c = O(n).

对于第二个问题，可以扩展主定理：

在x = O（1）的具体示例中：

T(n) = θ(n^γ) with γ such as a*(1/b)^γ + c*(1/d)^γ = 1