复发关系

Question

如何计算最大复杂度的非常大的n（比如10 ^ 14）的tribonacci数。 Tribonacci数字定义为F(n)=F(n-1)+F(n-2)+F(n-3) F0=1, F1=2, F2=4。

或者重复定义为 F(n)=aF(n-1)+bF(n-2)+cF(n-3)与F0=1, F1=2, F2=4。

我想计算log（n）中的第n个项，就像第n个Fibonacci数一样。

如何生成基本矩阵以使用矩阵求幂来计算第n个 术语

以前我试图使用DP来实现它，但是因为我们不能采用这么大的数组，所以它不能正常工作。类似地，递归在这里不起作用，因为堆栈溢出的数量非常大，为10 ^ 14。

Answer 1

tribonacci数的最佳渐近复杂度将使用像the one for Fibonacci numbers这样的矩阵求幂方法。具体来说，正确写入，这是O（log n）整数运算，而不是O（n）（如动态编程方法）或O（3 ⁿ ）（就像天真的解决方案）。

感兴趣的矩阵是

    [1, 1, 1]
M = [1, 0, 0]
    [0, 1, 0]

并且 n 第三个tribonacci数位于 M ⁿ 的左上角。必须计算矩阵求幂by squaring以实现log（n）复杂度。

（对于F(n+3) = a F(n+2) + b F(n+1) + c F(n)，矩阵为：

    [a, b, c]
M = [1, 0, 0]
    [0, 1, 0]

，结果是{F _{n + 2} ，F _{n + 1} ，F _n } = M ⁿ {F ₂ ，F ₁ ，F ₀ }，也see here。）

Answer 2

动态编程解决方案不需要10 ^ 14个元素阵列。 只需3 。

请注意，每个步骤仅使用前3个元素，因此对于F(1000)，您实际上不需要F(5)。

您可以简单地覆盖不再需要的元素，并将它们视为新数字。

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