Question

所以说我有这样的算法：

void dummy_algorithm(int a[]) {
   int center = floor(a.length/2);
   //For reference purposes: Loop 1  
   for(int i = 0; i < center; i++) {
       //The best code you've ever seen
   }
   //Loop 2
   for(int j = center + 1; j < a.length; j++) {
      //Slightly less awesome code
   }
}

这是非常基本的东西。我知道两个循环遍历数组的一半，从而给每个循环提供（n / 2）复杂度。但是，该方法所做的总工作显然是O（n）。

所以，我的问题是：我如何证明（通过递归关系）该算法是O（n）？或者我完全错了吗？

注意：我无法将两个循环合二为一。他们预先形成最终进入递归调用的动作。你不能想到的任何其他东西。这个问题有很多限制。

Answer 1

如果您真的在寻找 O（x）+ O（y）= O（x + y）的证明，它可以按以下方式工作：

R1∈O（x）∧R2∈O（y）
⇒∃a。 R1＆lt; ax∧∃b。 R2＆lt;通过
⇒∃a，b。 R1＆lt; ax∧R2＆lt;通过
⇒∃a，b。 R1 + R2＆lt; ax + by
⇒∃a，b。 c = max（a，b）∧R1+ R2＆lt; cx + cy
⇒∃c。 R1 + R2＆lt; C（X + Y）
⇒R1+R2∈O（x + y）

Answer 2

  (N/2) + (N/2)
= 2*(N/2)
= 2N/2
= N

Answer 3

时间复杂度（以及是否需要递归关系）取决于您在循环中的操作，即

的复杂性

//The best code you've ever seen (*complexity1*)

和

 //Slightly less awesome code (*complexity2*)

是

如果每次迭代只需要一段时间，即O（1）中的 complexity1 和 complexity2 ，则总复杂度将为是n * O（1）= O（n）。这显示了Big-O-Notation真正做的事情：从 complexity1 和 complexity2 等常数因素中抽象出来。

如果每次迭代需要O（f（n）），那么您的总时间复杂度将为O（n * f（n））。

如果每次迭代进行递归调用，即使用较小的参数调用dummy_algorithm，则需要使用递归关系来计算时间复杂度。递归关系的外观取决于您进行递归调用的频率以及使用的参数。 http://en.wikipedia.org/wiki/Recurrence_relation向您展示了如何找到并解决相应的递归关系。

递归关系：证明（n / 2）+（n / 2）= O（n）

3 个答案: