作业：证明n＆lt; = 2 ^（n / 4）？

Question

所以我有一个我必须证明的作业问题：

n^4 is in O(2^n)

通过查看我知道的函数的图表，其中c = 1且n [0] = 16，这是正确的。

虽然试图在纸上证明它，但我设法将不等式降低到n <= 2^(n/4)，但是，我无法弄清楚如何进一步简化这一点或从这里充分证明n [0] = 16大-O断言成立。

任何帮助？

Answer 1

标题不正确，错误很重要。

你没有试图证明n≤2 ^{n / 4} ，你试图证明nεO（2 ^{n / 4} ），这是一个严格要求较弱。不可能证明n≤2 ^{n / 4} ，因为在n = 2时，不等式 false 。

通过取两边的对数，我们可以将问题减少到显示logn∈O（n）的问题，这很容易显示，因为对于n≥1，d / dn logn≤1。

Answer 2

使用归纳法很容易证明n＆gt; = 16的不等式，不需要演算：

首先，对于n = 16，你有16 ⁴ = 2 ¹⁶ 。

如果不等式适用于n = k，则对于n = k + 1，你有（k + 1） ⁴ =（####）·k ⁴ ＆lt; 2k ⁴ ≤2·2 ^k = 2 ^{k + 1} 。

QED。

_{由于这是作业，我将离开关键步骤，找到代替####的内容给读者。}