在上一个问题中，我（有希望正确地）表明f(n) = O(g(n))暗示lg(f(n)) = O(lg(g(n)))具有足够的条件（例如lg(g(n)) >= 1, f(n) >= 1，并且足够大n）。
现在，我需要证明或反驳f(n) = O(g(n))暗示2^(f(n)) = O(2^g(n)))。直观地说，这是有道理的，所以我想我可以在前一个定理的帮助下证明它。我注意到f(n)可以重写为lg(2^f(n))而g(n)只是lg(2^g(n))，这让我很兴奋...这是以两边的对数基数2为准我想要证明什么，它简化了很多事情！
但我很确定这不起作用。仅仅因为lg(2^f(n)) = O(lg(2^g(n)))并不一定意味着2^f(n) = O(2^g(n)) ......那是从前一个定理（它表示“暗示”，而不是“当且仅当”）的倒退。
我是否需要以另一种方式尝试此证明，或者我是否真的可以取消我所拥有的（至少作为首发）？
**说到其他方式，也许我可以争论如何将{2}增加到某个g(n)以上f(n)还会保持更高？这几乎感觉像是一个常识论点，但也许我错过了一些重要的东西......
**哦，哎呀！我忘了添加f(n)和g(n)渐近正面。通过我们的教科书定义，这意味着它们“对所有足够大的n都是正面的”。
答案 0 :(得分：14)
嗯，开始时甚至都不是。
假设算法A需要2n步，算法B需要n步。然后他们的比例是一个常数。
但是2 2n 和2 n 的比例不是常数，所以你所说的并不成立。
答案 1 :(得分：5)
设，f（n）= 2log n和
g（n）= log n
（假设日志是基数2）
我们知道，2log n＆lt; = c（log n） 因此f（n）= O（g（n））
2 ^（f（n））= 2 ^ log n ^ 2 = n ^ 2
2 ^（g（n））= 2 ^ log n = n
我们知道
n ^ 2不是O（n）
因此， 2 ^（f（n））不等于O（2 ^ g（n）））
答案 2 :(得分：0)
对于任何f，g：N-> R *，如果f（n）= O（g（n））则2 ^（f（n）= O（2 ^ g（n））（1）< / p>
我们可以通过找到一个反例来反证（1）。
假设（1）是true->根据Big-O定义，存在c> 0和整数m> = 0，这样：
2 ^ f（n）<= c2 ^ g（n），对于所有n> = m（2）
选择f（n）= 2n，g（n）= n，我们也有f（n）= O（g（n）），将它们应用于（2）。
-> 2 ^（2n）<= c2 ^ n-> 2 ^ n <= c（3）
这意味着：存在c> 0且整数m> = 0，使得：对于所有n> = m，为2 ^ n <= c。
没有这样的c，因为如果存在，我们总会发现n> lg（c）使得（3）不成立：2 ^ n> = c，对于所有n> = lg（c）。
因此，（1）不能为真。