硕士定理，f（n）= log n

Question

对于硕士定理T(n) = a*T(n/b) + f(n)我使用3个案例：

1. 如果a*f(n/b) = c*f(n)为常量c > 1，则为T(n) = (n^log(b) a)
2. 如果a*f(n/b) = f(n)则T(n) = (f(n) log(b) n)
3. 如果a*f(n/b) = c*f(n)为常量c < 1，则为T(n) = (f(n))

但是当f(n) = log n或n*log n时，c的值取决于n的值。如何使用主定理解决递归函数？

Answer 1

通常，f（n）必须是多项式才能应用主定理 - 它不适用于所有函数。然而，主定理有一个有限的“第四种情况”，它允许它应用于多对数函数。

如果 f（n）= O（n ^{log _b a} log ^k n），那么 T（n）= O（n ^{log _b a} log ^{k + 1} n）。

换句话说，假设您有T（n）= 2T（n / 2）+ n log n。 f（n）不是多项式，但f（n）= n log n，k = 1.因此，T（n）= O（n log ² n）

有关详细信息，请参阅此讲义：http://cse.unl.edu/~choueiry/S06-235/files/MasterTheorem-HandoutNoNotes.pdf

Answer 2

您可能会发现the Wikipedia article on the Master theorem中的这三种情况更有用：

• 情况1：f（n）=Θ（n ^c ），其中c <1。 log _b a
• 案例2：f（n）=Θ（n ^c log ^k n），其中c = log _b a
• 情况3：f（n）=Θ（n ^c ），其中c> 1。 log _b a

现在不再直接依赖于n的选择 - 所有重要的是f的长期增长率以及它与常数a和b的关系。如果没有看到您尝试解决的特定复发的更多细节，我无法提供任何更具体的建议。

希望这有帮助！

Answer 3

当f（n）= log（n）时，Master定理不适用。您应该使用更广义的定理Akra–Bazzi。

结果是T（n）= O（n）。

source。

找到此结果更具体证明的另一种方法是寻找“最佳排序矩阵搜索”算法的计算复杂性证明。