Question

我希望证明T（n）= T（n / 2）+ sqrt（n）是O（sqrt（n））给定T（1）= 1 仅使用感应。使用Master定理很容易解决，但事实并非如此。我试着假设

T（n / 2）＆lt; C * SQRT（N / 2）

但其余的证据并没有得到很大的帮助。提前感谢大家的答案。

编辑：我的解决方案（在上面的假设之后）是：

T（n）＆lt; = c * sqrt（n / 2）+ sqrt（n）= sqrt（n）（c / sqrt（2）+1）＆lt; = sqrt（n）（C + 1）

我不知道如何从这个转移到所需的

T（n）的＆LT; = C * SQRT（n）的

Answer 1

好的，你很亲密。所以基本上，正如我在评论中提到的，基本情况很简单。对于归纳案例，如果T（n / 2）为O（sqrt（n / 2）），则要显示T（n）为O（sqrt（n））。

所以，它是这样的：

T(n) = T(n/2) + sqrt(n)               ; this is just your recurrence
     < c sqrt(n/2) + sqrt(n)          ; since T(n/2) is O(sqrt(n))
                                      ; wlog here, assume c > 4
     = c sqrt(n) / sqrt(2) + sqrt(n)
     = (c/sqrt(2) + 1) sqrt(n)

观察c> 4，c / sqrt（2）+ 1＆lt; c，所以

(c/sqrt(2) + 1) sqrt(n) < c sqrt(n)

所以

T(n) < c sqrt(n)

因此，T（n）是O（sqrt（n））

所以你错过了几个关键点。

首先，您可以随时将c增加到您想要的任何值。这是因为大O只需要＆lt;。如果它是＆lt; c f（n）那么它是＆lt; d f（n）其中d> C。

第二个是要注意，线f（c）= c / sqrt（2）+ 1与线f（c）= c相交，约为c = sqrt（2）/（sqrt（2）-1 ）= 3.4143（左右），所以你要做的就是强制c为＆gt;这个值是为了得到（c / sqrt（2）+ 1）＆lt; C。 4肯定有效，所以这就是4来自的地方。

回想起来，我应该把关键点作为提示。我的错。遗憾！

Answer 2

可能有帮助的一条思路是递归地扩展递归。你得到了

T(n) = sqrt(n) + sqrt(n/2) + sqrt(n/4) + ... + sqrt(n/(2^k)) + ... + sqrt(1)
     = sqrt(n) + sqrt(n)/sqrt(2) + sqrt(n)/sqrt(4) + ... + sqrt(n)/sqrt(2^k) + ... + sqrt(1)
     = sqrt(n) * (1 + sqrt(1/2) + sqrt(1/2)^2 + ... + sqrt(1/2)^k + ...)
     <= sqrt(n) * ∑(k=0 to ∞) sqrt(1/2)^k
     = sqrt(n) * 1/(1 - sqrt(1/2))

由于1/(1-sqrt(1/2))是有限常数（约为3.4），T(n)必须为O(sqrt(n))。您可以使用此信息来使用标准归纳来证明它。

仅使用归纳的重复T（n）= t（n / 2）+ sqrt（n）的解决方案

2 个答案: