当启发式总是低估时，A *算法的最优性证明

Question

我理解为什么当启发式总是低估时，A *算法总是给出目标状态的最佳路径，但是我无法为它创建一个正式的证据。

据我了解，对于每条被认为越来越深的路径，f(n)的准确度会增加，直到目标状态为100％准确。此外，由于估算小于实际成本，因此不会忽略不正确的路径;从而导致最佳路径。但是我应该如何为它创建证据？

Answer 1

证明的主要思想是当A *找到路径时，它找到一条路径，其估计值低于任何其他可能路径的估计值。由于估计是乐观的，因此可以安全地忽略其他路径。

此外，只有满足两个条件时，A *才是最佳的：

1. 启发式可接受，因为它永远不会高估成本。

2. 启发式是单调，即，如果 h（n _i ）＆lt; h（n _{i + 1} ），然后实际成本（n _i ）＆lt;实际成本（n _{i + 1} ）。

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你可以通过假设相反的方式证明最佳性是正确的，并扩大其含义。

假设A *给出的路径不是最优的，具有可接受的单调启发式算法，并考虑这意味着什么意义（你很快就会发现自己达到矛盾），因此，你原来的假设被简化为荒谬。

由此您可以得出结论，您的原始假设是错误的，即A *在上述条件下是最优的。 Q.E.D。

Answer 2

考虑最后一步，即完成最佳路径的步骤。

为什么A *必须选择那条路？或者换句话说，为什么A *必须避免选择达到目标的次优路径？

提示 ：这就是启发式需要可接受的原因。注意，可以选择次优路径，只要它不完成路径（为什么？）。

这应该会让你知道如何制作证据。