为什么可接受的启发式保证最优性？

Question

今天在课堂上，我的教授向我们介绍了可接受的启发式，并声明它们保证了 A *算法的最优性。

我让他用一个极端的例子解释它，使其显而易见，但他不能。

有人可以帮忙吗？

Answer 1

我们有一份候选人名单，对吧？

每个人都有一个ETC（预计总成本）从起始节点到达目标（即达到该节点的成本+目标的预期剩余成本（启发式））。

现在，如果预期成本与实际成本相同，我们只需选择最短路径上的节点（以及任何最短路径），而不是其他任何东西。由于我们选择了最低的ETC，因此我们只选择从最短路径中选择节点应该是非常明显的 - 任何不在最短路径上的东西都会有更高的ETC。

如果ETC低于实际成本怎么办？我们总是选择最低的ETC，因此我们可能最终选择不在最短路径上的节点。但是我们永远无法通过一条不是最短路径的路径达到目标，因为：

• 最短路径的实际成本低于任何非最短路径
• 目标的ETC与通过该路径达到目标的成本相同（因为我们已达到目标，预期剩余成本为0）
• ETC始终小于或等于任何路径上的实际总成本
• 因此，最短路径上的ETC严格小于通过非最短路径到达目标的ETC。

例如，假设我们的成本如下:(节点高于/低于节点的成本是预期剩余成本，边缘成本是实际成本）

  0    10  0  100   0
START ---- O ------ GOAL
0 |                 | 100
  O ------ O ------ O
 100  1   100  1   100

很明显，我们开始访问顶级中间节点，因为ETC是10（10 + 0）。

然后目标将成为候选人，ETC为110​​（10 + 100 + 0）。

然后我们一个接一个地选择底部节点，然后是更新的目标，因为它们都具有低于当前目标的ETC的ETC，即它们的ETC是：100,101,102,102。

所以即使目标是候选人，我们也不能选择它，因为那里还有更好的路径。

Answer 2

根据此Wikipedia Article：

<块引用>

使用不可允许的启发式算法，A* 算法可以忽略 搜索问题的最优解...

文章中给出了一个很好的例子：15-puzzle problem。

对于这个特定问题，采用一个启发式函数，该函数返回错位图块（移动）的数量作为达到目标（整个拼图排序的位置）的成本。这是尽可能少的移动次数，尽管它不是一个实际的解决方案。

以此为当前节点：

目标节点：

交换 15 和 14 块瓷砖。

对于上图中呈现的节点，它将返回 2（两个图块错位：15 和 14）。这种启发式函数是可以接受的，因为它不会忽略最佳解决方案（用 2 步对拼图进行排序——将 15 和 14 移动到正确的位置）。

因此，启发式保证了最优性。