二元搜索的最优性

Question

这可能是一个愚蠢的问题，但是有没有人知道二进制搜索是渐近最优的证据？也就是说，如果给出一个排序的元素列表，其中对这些对象的唯一允许操作是比较，那么如何证明搜索不能在o（lg n）中完成？ （顺便说一下，这只是lg n的一小部分。）请注意，我将此限制为只允许操作的唯一操作的元素，因为有一些众所周知的算法可以在期望值上击败O（lg n）如果你被允许对数据进行更复杂的操作（例如，参见插值搜索）。

Answer 1

来自here：

• 可能的结果数量应至少为O（n）。
• 您可以通过“决策树”的节点来表示算法所做的决策：如果项目比较大，那么它就会继续进行，如果不是，那么它就是另一种方式。树的节点是算法的状态，叶子是结果。所以树中至少应该有O（n）个节点。
• O（n）节点上的每棵树至少具有O（log N）级别。

Answer 2

逻辑很简单。假设我们有n个不同的排序元素数组。

1. 1个比较有2种可能的结果（第一个元素更小或更大）。因此，如果一个比较足够，n <= 2。否则，如果我们有3个元素（a, b, c）并且我们的算法有2个可能的结果，则永远不会选择3个元素中的一个。
2. 2次比较有4种可能的结果。因此，如果2次比较就足够了，n <= 4。
3. 同样，k比较足够n应为n <= 2^k。

反转最后一个不等式，你将得到对数：k >= log(2, n)。

Answer 3

正如Nikita所描述的那样总是比O（log n）更好。

即使您允许进行一些额外的操作，它仍然不够 - 我确信可以准备元素序列，其中插值搜索将比二分搜索更糟糕。

我们可以说插值搜索更好只是因为：

1. 我们考虑平均表现，而不是最坏情况。
2. 每个可能的传入数据集的概率是不均匀的。

所以答案是 - 这完全取决于我们对传入数据集的额外了解。