Question

以增加Θ顺序排列以下表达式。如果两个函数具有相同的增长顺序，则应说明这一事实。

n log n，n ^-1，log n，n ^{log n}，10n + n ^3/2，πⁿ，2 ⁿ，2 ^{log n}，2 ^{2 ^{log n}}，log n！< / p>

有人可以向我解释为什么以下答案是正确的吗？

n ^-1«log n«2 ^{log n}«n log n = log n！ «10n + n ^3/2«n ^{log n}«2 ⁿ = 2 ^{2 ^{log n}}«πⁿ

Answer 1

你应该使用以下事实：

lim(n->∞) f(n)/ g(n) = 0  this gives you Θ(f(n)) < Θ(g(n))
lim(n->∞) f(n)/ g(n) = c; c > 0 this gives you Θ(f(n)) = Θ(g(n))
lim(n->∞) f(n)/ g(n) = ∞  this gives you Θ(f(n)) > Θ(g(n))

现在使用你得到：

lim(n->∞) n^−1 / log n = lim(n->∞) 1 / (n * log n) = 0.

这会立即为您提供Θ(n^−1) < Θ(log n)

继续剩下的。

对于某些计算，您可能会发现L'Hôpital's rule有帮助。

Answer 2

所以自从我考虑这些概念已经有很长时间了（如果这是错误的话，我相信其他人会纠正我），但我不同意你的回答。首先关闭theta意味着该函数在上方和下方绑定。这意味着10n + n3 / 2,2n和πn都是相同的theta类。 log n，2log n，22log n也都是同一个类。要查看n log n与log n是同一个类！使用stirling's approximation。因此，你得到：

log n = 2 log n = 22 log n ≪ n−1 = 10n + n3/2 = 2n = πn ≪ n log n = log n!

现在，如果'n3 / 2'表示n ^（3/2）而不是3/2 * n，则顺序为：

log n = 2 log n = 22 log n ≪ n−1 = 2n = πn ≪ n log n = log n! ≪ 10n + n3/2

为什么以下函数序列按渐近增长率排序？

2 个答案: