BIG-O;增长率的顺序

Question

订购以下功能的增长率：     10 ^-5 n，10 ² log n，3 ⁿ ，n log n，10 ^-100 n < sup> 2 + 10 ³ n，n ⁿ

然后证明每个关系。例如：如果排序是A＆lt; B＆lt; C＆lt; D，然后证明A = O（B），B = O（C）和C = O（D）。您应该根据big-O的定义或基于比率的限制来证明（如果需要，可以使用L'Hopital的规则）。不要对功能增长率做出任何结论。

根据我所做的数学计算，我得出的结论是正确的顺序如下：

10 ² log n＆lt; 10 ^-5 n＆lt; n log n＆lt; 10 ^-100 n ² + 10 ³ n＆lt; 3 ⁿ ＆lt; Ñ^名词

然而，我无法证明这一点。我已经计算出log n的生长速率小于n，生长速率小于n log n。我知道，就生长速度而言，n2小于3 ⁿ 小于n ⁿ 。我应该如何证明这些关系？

Answer 1

当且仅当

时，这是一个处理f（n）= O（g（n））这一事实的好地方

  

lim _n→∞ f（n）/ g（n）= L

对于L的某个值。例如，让我们看3 ⁿ 与n ⁿ 。取这个比例的限制给出了

  

lim _n→∞ 3 ⁿ / n ⁿ

     

= lim _n→∞（3 / n） ⁿ

     

= 0

所以3 ⁿ = o（n ⁿ ）。您应该能够使用类似的技术来推断所有其他数量。最棘手的是将对数项与其他项进行比较;为此，正如所建议的那样，使用l＆＃39; Hopital的规则。

Answer 2

  

如果排序是A＆lt; B＆lt; C＆lt; D，然后证明A = O（B），B = O（C）和C = O（D）。

所以这只是一系列证明。对于您的订购，这确实是正确的，我们有：

首先，我们将证明A = O（B），所以在这种情况下

通过@templatetypef给出的Big-Oh表示法的定义，我们确实计算了  通过查看比率的限制

其余类似，现在证明 10 ^（ - 5）n = O（n log n）。最后，您将获得完整的订购关系。