大O增长层次结构？

Question

我正在尝试找出O(sqrt(n))和O(n2 log n)适合下面列出的增长层次结构的位置。这一章令人困惑，我迷失在如何解决这个问题上。任何建议将不胜感激。

O(1)
O(log log n)
O(log n)
O(log2 n)
O(n)
O(n log n)
O(n2)
O(n3)
O(2n)
O(n!)

Answer 1

首先，第二个，O（n ² * log ₁₀ n）很容易理解。如果您注意到，n ² 的权重大于log ₁₀ n，因为它以指数方式增长，而log将收敛于x轴上最大数字的位数。因此，该等式将产生大于n ² 但小于n ³ 的值。

最后，第一个，O（sqrt（n）），log（n）＆lt;所有n的sqrt（n）>这是proof。

其他信息

下图是从左到右，从上到下绘制所有12个方程的图。

使用以下代码，我能够绘制所有12个函数。

from matplotlib.pyplot import figure,plot,savefig,subplot,tight_layout,title,text
from numpy import linspace,log10,log2,sqrt
from scipy.misc import factorial

def plotEq(loc, lbl, n, eq):
    subplot(4,3,loc)
    plot(n,eq)
    text(60,.025,r'$\mu=100,\ \sigma=15$')
    title(lbl)

n = linspace(2,100,500)
figure()

plotEq(1, 'log10(log10(n))', n, log10(log10(n)))
plotEq(2, '1', n, n**0)
plotEq(3, 'log10(n)', n, log10(n))
plotEq(4, 'log2(n)', n, log2(n))
plotEq(5, 'sqrt(n)', n, sqrt(n)) # Here
plotEq(6, 'n', n, n)
plotEq(7, 'n*log10(n)', n, n*log10(n))
plotEq(8, 'n**2', n, n**2)
plotEq(9, '(n**2)*log10(n)', n, (n**2)*log10(n)) # Here
plotEq(10, 'n**3', n, n**3)
plotEq(11, '2**n', n, 2**n)
plotEq(12, 'n!', n, factorial(n))

tight_layout()
savefig("plot_subplots.png")

Answer 2

1. O（1）
2. O（日志（日志（N）））
3. O（log n）
4. O（log 2 n）
5. O（sqrt（n））（由于sqrt（n）= n ^1/2 ）
6. O（n）的
7. O（n log n）
8. O（N²）
9. O（n²logn）（n²+任何大于n².logn小于n ^{1 + 1} ）
10. O（N 3）
11. O（2ⁿ）
12. O（N！）

Answer 3

  

O（log ² n）⊂ O（√n）⊂O（n）

O（√n）是O（n ^1/2 ）。这比O（n）快，但任何对数函数都慢。对数生长缓慢，慢于n的任何正幂，甚至n ^0.01 。如果平方对数甚至是raise it to the millionth power都没关系。

  

O（n ² ）⊂ O（n ² log n）⊂O（n ³ ）

我们知道这一点，因为你可以将公共n ² 分解出来并看到O（1）⊂O（log n）⊂O（n）。

Answer 4

嗯，O（sqrt（n））肯定小于O（n），对吗？ 现在让我们考虑O（log2 n）是大于还是小于O（sqrt（n））。 如果您感到困惑，只需在n中放入一个非常大的整数并计算它们的值。 例如，当n是1024时，log2 n = 10，并且sqrt（n）= 32.因此，O（log2 n）<0。 O（SQRT（n））的

O(log2 n) < O(sqrt(n)) < O(n)

现在，O（n ^ 2 log n）明显小于O（n ^ 3），因为O（log n）<0。上）。 此外，由于log n大于1，因此O（n ^ 2 log n）大于O（n ^ 2）。

因此，

O(n^2) < O(n^2 log n) < O(n^3)