Question

以下功能的增长顺序是什么？

    static int counter = 0;

    static void Example(int n)
    {
        if (n == 1) return;

        for (int i = 0; i < n; i++)
        {
            counter++;
        }

        Example(n / 2);
    }

为了解决这个问题，我做了以下几点：

我首先摆脱内部for循环以便最终得到：

    static void Example(int n)
    {
        if (n == 1) return;            

        counter++;

        Example(n / 2);
    }

通过分析我能够判断出该方法的增长顺序是n的对数基数2。

所以我认为最终答案将是log base 2次。我怎么能搞清楚？

Answer 1

让我们看一下原始函数和修改过的函数。在原始函数中，您完成了以下工作量：

基本案例检查的一定量工作。
O（n）努力计算数字。
递归调用一半大小所需的工作。

我们可以将此表示为递归关系：

T（1）= 1
T（n）= n + T（n / 2）

让我们看看这是什么样的。我们可以通过注意

开始扩展它

T（n）= n + T（n / 2）

= n +（n / 2 + T（n / 4）

= n + n / 2 + T（n / 4）

= n + n / 2 +（n / 4 + T（n / 8））

= n + n / 2 + n / 4 + T（n / 8）

我们可以在这里看到一种模式。如果我们将T（n / 2）位扩展k次，我们得到

T（n）= n + n / 2 + n / 4 + ... + n / 2 ^k + T（n / 2 ^k）

最终，当n / 2 ^k = 1时停止。当发生这种情况时，我们有

T（n）= n + n / 2 + n / 4 + n / 8 + ... + 1

这对此有何评价？有趣的是，该和等于2n + 1，因为和n + n / 2 + n / 4 + n / 8 + ... = 2n。因此，该第一函数是O（n）。我们也可以使用 Master Theorem 来得出这个结论，但看到这种方法也很有意思。

现在让我们来看看新功能。这一个

基本案例检查的一定量工作。
递归调用一半大小所需的工作。

我们可以将此重复写为

T（1）= 1
T（n）= 1 + T（n / 2）

使用与以前相同的技巧，让我们展开T（n）：

T（n）= 1 + T（n / 2）

= 1 + 1 + T（n / 4）

= 1 + 1 + 1 + T（n / 8）

更一般地说，在扩展k次之后，我们得到了

T（n）= k + T（n / 2 ^k）

当n / 2 ^k = 1时停止，这发生在k = log ₂ n（即lg n）时。在这种情况下，我们得到了

T（n）= lg n + T（1）= lg n + 1

在这种情况下，所以T（n）= O（lg n）。

希望这有帮助！

Answer 2

现在让我们看看......这会给计数器增加1次n次。每个呼叫n减少一半，直到达到一个。

你可以摆脱循环并使用

counter+=n;

相反，因为基本上循环将n加1到计数器，逐个。

这意味着n每次运行时都会被添加到计数器中，然后变小2，直到达到1。

所以说n = 40。计数器： 40 - ＆gt; 60 - ＆gt; 70 - ＆gt; 75 - ＆gt; 77 - ＆gt; 77。 N： 40 - ＆gt; 20 - ＆gt; 10 - ＆gt; 5 - ＆gt; 2 - ＆gt; 1。

只是推动正确的方向（计数器+ = n;是重要部分）

特定递归函数的增长顺序

2 个答案: