Question

代表

f = n(log(n))^5
g = n^1.01

是

f = O(g)
f = 0(g)
f = Omega(g)?

我尝试将两者分开，我得到了

f = log(n)^5
g = n^0.01

但我仍然对哪一个增长得更快无能为力。有人可以帮助我解释这个答案的原因吗？我真的想知道如何（没有计算器）可以确定哪一个增长得更快。

Answer 1

可能最容易比较它们的对数配置文件：

如果（对于某些C1，C2，a> 0）

f < C1 n log(n)^a
g < C2 n^(1+k)

然后（足够大n）

log(f) < log(n) + a log(log(n)) + log(C1)
log(g) < log(n) + k log(n) + log(C2)

两者都以log（n）增长为主，所以问题是哪个残差更大。 log（n）残差增长得比log（log（n））快，无论k有多小或多大，所以g的增长速度都快于f。

因此就大O符号而言：g比f增长得快，所以f可以（渐近）通过像g这样的函数从上面限定：

f(n) < C3 g(n)

所以f = O（g）。类似地，g可以从下面用f界定，所以g = Omega（f）。但是f不能通过像g这样的函数从下面限制，因为g最终会超过它。所以f！= Omega（g）和f！= Theta（g）。

但是aaa提出了一个非常好的观点：在n变得非常大之前，g并没有开始支配f。

我对算法缩放没有太多经验，所以欢迎更正。

Answer 2

我会将其分解为几个简单，可重复使用的引理：

引理1：对于正常数k，当且仅当f = O（k g）时f = O（g）。

证明：假设f = O（g）。然后存在常数c和N，使得| f（n）| ＆LT; c | g（n）|对于n> N. 因此| f（n）| ＆LT; （c / k）（k | g（n）|）对于n> N和常数（c / k），所以f = O（k g）。相反的情况相似。

引理2：如果h是正单调递增函数且f和g对于足够大的n是正的，那么当且仅当h（f）= O（h（g））时f = O（g）。 / p>

证明：假设f = O（g）。然后存在常数c和N，使得| f（n）| ＆LT; c | g（n）|对于n> N.由于f和g对n> 1是正的。 M，f（n）＆lt; c g（n）n>最大值（N，M）。由于h是单调增加的，因此h（f（n））< c h（g（n））n> 1。 max（N，M），最后| h（f（n））| ＆LT; c | h（g（n））|对于n> max（N，M），因为h为正。因此h（f）= O（h（g））。反过来也是如此;关键的事实是，如果h是单调增加的，那么h（a）＆lt; h（b）=＆gt; a＆lt;湾

引理3：如果h是可逆的单调递增函数，那么当且仅当f（h）+ O（g（h））时，f = O（g）。

证明：假设f = O（g）。然后存在常数c，N，使得| f（n）| ＆LT; c | g（n）|对于n> N.因此| f（h（n））| ＆LT; c | g（h（n））|对于h（n）> N.由于h（n）是可逆的并且单调递增，因此h（n）> 0。 N只要n> H ^ -1（N）。因此，h ^ -1（N）是我们需要的新常数，并且f（h（n））= O（g（h（n））。反之亦然，使用g的逆。

引理4：如果对于n> h，则n（n）非零。 M，f = O（g）当且仅当f（n）h（n）= O（g（n）h（n））。

证明：如果f = O（g），则对于常数c，N，| f（n）| ＆LT; c | g（n）|对于n> N.从| h（n）|对于n>是正的M，| f（n）h（n）| ＆LT; c | g（n）h（n）|对于n> max（N，M）和f（n）h（n）= O（g（n）h（n））。通过使用1 / h（n），类似地遵循相反的步骤。

引理5a：log n = O（n）。

证明：设f = log n，g = n。然后f'= 1 / n并且g'= 1，因此对于n> 1。 1，g比f增加得更快。此外，g（1）= 1> 0 = f（1），所以| f（n）| ＆LT; | G（N）|对于n> 1和f = O（g）。

引理5b：n！= O（log n）。

证明：假设另有矛盾，让f = n和g = log n。然后对于一些常数c，N，| n | ＆LT; c | log n |对于n> Ñ

设d = max（2,2c，sqrt（N + 1））。通过引理5a中的计算，因为d> 2＆gt; 1，log d＆lt; d。从而 | F（2D ^ 2）| = 2d ^ 2> 2d（log d）＆gt; = d log d + d log 2 = d（log 2d）＆gt; 2c log 2d＆gt; c log（2d ^ 2）= c g（2d ^ 2）= c | g（2d ^ 2）|对于2d ^ 2> N，矛盾。因此f！= O（g）。

现在我们可以汇总您最初提出的问题的答案。

第1步：

log n = O(n^a)
n^a != O(log n)

任何正常数a。

证据：由引理5a记录n = O（n）。因此，对于Lemmas 3（对于h（n）= n ^ a），4和1，log n = 1 / a log n ^ a = O（1 / an ^ a）= O（n ^ a）。第二个事实通过使用引理5b进行类似的跟踪。

第2步：

log^5 n = O(n^0.01)
n^0.01 != O(log^5 n)

证明：通过步骤1记录n = O（n ^ 0.002）。然后通过引理2（具有h（n）= n ^ 5），log ^ 5 n = O（（n ^ 0.002）^ 5）=为O（n ^ 0.01）。第二个事实也是如此。

最终答案：

n log^5 n = O(n^1.01)
n^1.01 != O(n log^5 n)

换句话说，

f = O(g)
f != 0(g)
f != Omega(g)

证明：将引理4（使用h（n）= n）应用于步骤2.

通过练习，这些规则变得“显而易见”和第二天性。除非你的测试要求你证明你的答案，否则你会发现自己正在解决这些大问题。

Answer 3

检查他们的十字路口怎么样？

Solve[Log[n] == n^(0.01/5), n]

                                       1809
{{n -> 2.72374}, {n -> 8.70811861815 10    }}

我和Mathematica作弊

你也可以用衍生物推理，

In[71]:= D[Log[n], n]

1
-
n
In[72]:= D[n^(0.01/5), n]

0.002
------
 0.998
n

考虑当n变得非常大时会发生什么，首先变化趋于零，后来的函数不会失去它的导数（指数大于0）。

这告诉你哪个理论上更复杂。但是在实际区域，第一个功能将会更快地增长。

Answer 4

这不是100％数学上的犹太教徒而没有证明一些关于日志的东西，但他在这里说：

f = log(n)^5
g = n^0.01

我们记录两者：

log(f) = log(log(n)^5)) = 5*log(log(n)) = O(log(log(n)))
log(g) = log(n^0.01) = 0.01*log(n) = O(log(n))

从这里我们看到第一个渐渐变慢，因为它有一个双重日志并且日志增长缓慢。一个非正式的论点，为什么通过获取日志的这种推理是有效的：log（n）大致告诉你数字n中有多少位数。因此，如果g的位数渐渐快于f的位数增长，那么实际数字g的增长肯定比数字f快！

增长的顺序

4 个答案: