Question

我正在为有向图实现此算法。但是这个图节点的有趣之处还有它们自己的流量。我认为，必须以特殊方式处理原始问题的这种微妙变化。因为，在原始的最大流量问题中可以从头到尾找到任何路径（实际上，在Edmonds-Karp算法中，我们需要做BFS，并选择到达最终节点的第一条路径）但是有了这个节点 - 容量扩展，我们需要更加小心“这个路径选择”的工作。我知道这是因为我实现了原始算法并且发现自己的流量值比max-flow小，我怀疑它与节点容量限制有关。

我在这方面付出了很多努力，并提出了一些想法，比如将初始图转换为一个图形，通过添加自循环（在每个节点上添加自循环并找到包含此自我的路径）对节点没有容量限制路径上每个节点的循环）或添加虚拟节点和边缘，其权重取代初始节点容量约束）但是，我不相信任何这些都是解决这个问题的好方法。

任何想法都会非常感激。

提前致谢。

Answer 1

从节点容量的最大流量问题到常规最大流量问题的简单减少：

对于图表中的每个顶点v，请替换为两个顶点v_in和v_out。 v的每个传入边都应指向v_in，v的每个传出边都应指向v_out。然后创建一个从v_in到v_out的附加边，其容量为c_v，即顶点v的容量。

所以你只需要在变换图上运行Edmunds-Karp。

因此，假设您的问题中包含以下图表（顶点v具有容量2）：

s --> v --> t
   1  2  1

这与max-flow问题中的这个图对应：

s --> v_in --> v_out --> t
   1        2         1

显而易见的是，获得的最大流量是解决方案（并且证明它也不是特别困难）。

Edmonds-Karp算法用于具有流量容量节点的图形

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