为什么必须在Edmonds-Karp最大流量中考虑后沿？

Question

我试图在C ++中实现Edmonds-Karp以获得最大流量，而且我的写法略有不同：

1. 我没有遍历残差图中的所有边，而是使用邻接列表浏览了原始图中的边。
2. 使用min flow更新残差图时，我没有更新任何后边缘。

有趣的是，当我运行我的代码时，它给了我正确的结果。所以我去了Wikipedia's example，其中专门展示了后端的使用方式。当我将此图表提供给我的代码时，我再次得到了正确的答案。 我还检查了结果流矩阵，它与维基百科相同。

有人可以解释为什么我们必须添加和更新后端，并举例说明它们是关键的吗？

Here我编写的代码（更新后包含后边缘）：

Answer 1

尝试以下案例：

int main() {
    Digraph<int> g(8);
    g.addEdge(0,1,1);
    g.addEdge(1,2,1);
    g.addEdge(2,4,1);
    g.addEdge(0,3,1);
    g.addEdge(3,4,1);
    g.addEdge(4,7,1);
    g.addEdge(3,5,1);
    g.addEdge(5,6,1);
    g.addEdge(6,7,1);

    cout<<g.maxFlowEdmondsKarp(0,7);

    return 0;
}

可视化：

您的程序首先采用最短路0-3-4-7，然后无法找到0-1-2-4-7和0-3-5-6-7。你得到1，但2是正确的答案。

您是否已插入后边缘，然后您会找到以下路径：

1. 0-3-4-7
2. 0-1-2-4-3(back-edge!)-5-6-7，获得最大流量2。

Answer 2

考虑以下流量网络

假设第一个流程是 s→u→v→t 。 （如果你反对说Edmonds-Karp的BFS永远不会选择这个，那么用 s 和 v 之间以及 u <之间的一些顶点来增加图形。 / em>和 t ）。

如果没有逆流 u→v ，则无法获得20的最佳流量。