添加边缘后更新最大流量

Question

考虑到我们有网络流并使用Edmond-Karp算法，我们已经拥有网络上的最大流量。现在，如果我们向网络添加任意边缘（具有一定容量），更新最大流量的最佳方法是什么？我正在考虑更新关于新边缘的剩余网络，并再次寻找扩充路径，直到我们找到新的最大流量，但我不确定它是否有效或是否是最佳方式！

Answer 1

执行maxflow后，您就会知道每个边缘流动的内容量。

因此，当边缘成本发生变化时，您可以执行以下操作：

1. 假设，该边缘流动的内容为w。
2. 现在从该边缘开始forward dfs和backward dfs，并从其关联的边缘撤消总w个内容。



此处每条边都由x/y表示，其中y表示边缘容量，x表示其流动的内容。

现在您要将边4->3的费用从2更改为3。

您需要做的就是从forward and backward dfs边缘4->3做2，并在4->3流w=2内容的情况下从这些边缘撤消4->3权重。

以下是流程：



现在你差不多完成了：）

1. 将边缘2的费用从3更改为{{1}}，然后再次尝试查找扩充路径：）

如果您发现难以理解，或者我错了，请告诉我:)）

编辑：

1. 如果新的边缘成本高于当前成本，那么您不得不撤消重量。您可以尝试找到改变边缘容量的扩充路径。

2. 但如果容量减少，你必须减轻重量并试图找到一条增强路径。

3. 如果添加了新边，您只需添加边并尝试查找扩充路径（如果可用）。那就是它。

Answer 2

实际上添加新边缘并不是很困难 - 在添加边缘之前，您有边缘的流量/容量，然后添加边缘及其反转。然后运行您用来查找扩充路径的算法，直到找到非零流量，就是这样。已经发现大部分最大流量，所以这应该（理论上）不要太慢。我不知道你使用的是哪种最大流算法，所以我不能更具体，但是在添加新边缘之后你可能会违反算法的属性，因此你会以次优的方式找到最大流量。您仍然已经处理了大部分图表，所以这不应该是一个太大的问题。

我建议您使用Ford-Fulkerson算法完成任务，无论您使用最大流量的原始算法是什么。我认为在大多数最大流量已经被发现的情况下它会表现良好。